Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
Často je potřeba přejít od explicitního vyjádření plochy k parametrickému a naopak. Ne vţdy
lze vyhovět tomuto poţadavku.
Z explicitního vyjádření lze přejít na parametrické na příklad takto:
x = u,
y = v,
z = f(u, v), kde [u, v] .
Opačný postup nelze vţdy provádět. Z parametrického vyjádření lze k explicitnímu přejít
mnohdy pouze v dostatečně malém okolí zkoumaného bodu.
Implicitní vyjádření předpokládá, ţe je dána funkce
w = g(x, y, z), (9.8)
která je definována na nějaké trojrozměrné oblasti E 3 a která je ve všech bodech této
oblasti spojitá i se svými parciálními derivacemi aţ do třetího řádu. Nechť mnoţina bodů [x,
y, z], které jsou v oblasti určeny rovnicí
g(x , y, z) = 0,
je neprázdná, a nechť v ţádném bodě této mnoţiny nejsou všechny parciální derivace funkce
(9.8) současně rovny nule. Potom tuto mnoţinu nazýváme regulární plochou definovanou
(vyjádřenou) implicitně.
Jestliţe budeme uvaţovat opět o vyjádření explicitním, potom i zde platí :
Jestliţe je regulární plocha vyjádřena parametricky, explicitně nebo implicitně, potom
můţeme v dostatečně malém okolí jejího bodu vyjádřit tuto plochu i zbývajícími dvěma
způsoby.
Příklady zadání ploch.
Příklad 1.
Rovina je určena bodem M a vektory a a b, které jsou nekolineární a leţí v dané rovině.
Budeme hledat vyjádření pro obecný bod X zadané roviny . (Obr. 9.2)
Nutnou a postačující podmínkou, aby vektor MX leţel v rovině je aby byl lineární
kombinací vektorů a a b. Tedy musí existovat taková čísla u a v pro které platí :
MX = u a + v b .
Označíme-li m průvodní vektor bodu M a x průvodní vektor bodu X roviny, můţeme psát:
MX = x - m .
Odtud a z předcházející rovnice plyne
87