Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Evolventy, evoluty
1 2
1 a k a k
cos
sin
Lineární rovnice mezi první a druhou křivostí dané křivky k lze tedy napsat ve tvaru
= 0.
1 2
a k sin a k cos sin , (8.4)
kde a a jsou konstanty. Pro = 0 ( = ) buď a = 0, nebo 2 k = 0 ... jde o rovinnou křivku.
Případ a = 0 lze vyloučit (šlo by zde o totoţné - splývající křivky). Potom tedy pro 0( )
z rovnice (8.4) dostaneme
1 2
a k a k cotg 1.
Jestliţe dosadíme b = a cotg , dostaneme výraz
a 1 k + b 2 k = 1. (8.5)
Tato podmínka musí být splněna pro kaţdou křivku Bertrandova páru. Dále lze dokázat:
Nutná a postačující podmínka pro to, aby křivka p = p(s) mohla být jednou z křivek
Bertrandova páru, je splnění rovnice
2 k = 0 (pro rovinné křivky), nebo a 1 k + b 2 k = 1, kde a a b jsou konstanty.
Druhá křivka Bertrandova typu je potom dána rovnicí (8.1).
Z obrázku 8.2 je patrné, ţe rovinná křivka k ekvidistantní ke křivce k je vyjádřena
parametricky
x = x ± a cos , y = y ± a cos ,
kde , jsou směrové úhly normály n křivky k.
Ze vztahu cos 2 + sin 2 = 1 pro směrové kosiny přímky dostaneme
cos
, cos - ,
2 2
2 2
kde f= f(t) = x a Ѱ= Ѱ(t)= y ,
Z těchto rovnic a z rovnic pro x a y potom dostaneme
x ( t)
a , y ( t)
a
(8.6)
2 2
2 2
coţ jsou parametrické rovnice ekvidistantní křivky k ke křivce k.
Ke křivce zadané F( x, y ) = 0 rovnici ekvidistanty získáme eliminací x, y z rovnic
F( x, y ) = 0, y y
kde a je libovolná reálná konstanta.
dx
dy
( x x) a ( x x) ( y y)
a
2 2 2 ,
78