Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
r
1
y
y
2
3
2
,
x
s
x
1
y
y
y
2
,
y
s
y
1
y
y
2
(7.14)
4) Křivka o rovnici F(x,y) = 0 má ve svém bodě [x,y] oskulační kruţnici, jejíţ poloměr (poloměr křivosti) r a
souřadnice x s , y s středu S jsou dány výrazy
r
2
Fx
2
Fy
J
3
2
2 2
2 2
F x Fy
Fx
Fy
, x x Fx
, ys
y F
s
y , (7.15)
J
J
kde
2 2
J Fxx Fy 2 Fxy Fx Fy Fyy Fx
0 . (7.16)
F
x
F
y
F
x y
2 2
Kde Fx , Fy , Fxy , Fxx a Fyy
x
F
2
2
y
F
2 .
Při aplikaci této věty předpokládáme, ţe daná křivka nemá v bodě [x,y] tečnu rovnoběţnou s osou y .
5) Křivka o rovnici x = (t), y = (t) má ve svém bodě [x(t), y(t)] oskulační kruţnici, jejíţ poloměr (poloměr
křivosti) r a souřadnice x s , y s středu S jsou dány výrazy.
r
2
2
3
2
,
2 2
x s
, y
s
2
2
,
kde 0 .
2
2
6) V bodě [x,y] křivky y = y(x) , pro který platí 3 x y 1 y
y
0 ,
má oskulační kruţnice s křivkou styk řádu nejméně třetího (čtyřbodový), tj. kruţnice je kruţnicí
hyperoskulační.
Příklad 3. Pro parabolu y
2
2 px
získáme
y
dy
dx
p
y
p
2 px
,
a
y
2
y
y
p
2
2 px 2 px
2x
p
2 px
2 px
4x
2
Podle (7.14) dostaneme souřadnice x s a y s středu kruţnic křivosti v bodě P paraboly.
x p 3 x a y
s
s
y
p
3
2
.
Dosadíme-li tyto rovnice pro souřadnice středu do rovnice dané paraboly k dostaneme rovnici evoluty k této
křivky k .
74