Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
1 1
k
r
, 2 k = 0 , (7.5)
kde r > 0 je daná reálná konstanta.
Křivka leţí v rovině z = 0 , prochází bodem [ 0,0 ] a má v tomto bodě tečnu v kladné ose x.
Hledané rovnice této křivky jsou x = x(s) , y = y(s) , [z(s) = 0].
2 2
Potom lze ze vztahu t t x y
1 psát dle 7.41
x s cos s , y s sin s
x’’(s) = - sin (s). ‘(s) ,
y’’(s) = - cos (s). ‘(s)
Dosadíme (a vypočteme) do vztahu pro první křivost (viz (6.22))
1
k
2
x
y
x
2
x y
y
2
3
2
Po dosazení dostaneme
a odtud po integraci
bude tedy
x s
Po integraci
1
k
1
r
s
s
2
1
r ds
sin cos
2 2
cos 1
r s c ds a , y s
c
s
sin 1
r s c ds b .
x s
r
sin
1
r s c a , y s r cos 1
r s c b .
(7.6)
Z těchto rovnic po eliminaci parametru s dostaneme
2
2 2
x a y b r .
Coţ je rovnice kruţnice o středu S [a,b] a poloměru r. Zbývá tedy určit integrační konstanty tak, aby rovnice
vyhovovala zadaným podmínkám.
Tečna, normála :
t
t
x
y
1
1 x s cos
r s c ,
1
0 y s sin
r s c ,
1
n r x s
r s
x
0 sin c ,
1
n r s
r s
y
1 y cos c .
70