Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Dělící poměr, dvojpoměr
Důkaz
( ABCD)
D
C
1
C
1
;
( ABCD)
BC.
AD
BD.
AC
1
.
D
Promítáním se dvojpoměr nemění. (Věta Pappova.)
Obr. 1.3
Důkaz
Na přímce p jsou body A, B, C a D, které promítneme z bodu S do bodů A', B', C' a D' na
přímku p'. Důkaz provedeme pomocí plošných obsahů trojúhelníků.
1 1
1 2
AC.
BD 2
AC.
v.
2
. BD.
v .
( ABCD )
,
3 4
AD.
BC AD.
v.
. BC.
v .
1
2
kde 1 , 2 , 3 a 4 jsou obsahy trojůhelníků. Obsahy trojůhelníků vyjádříme:
1
2
1
3
.
.
2
4
1
2
1
2
SASC . .sin
SASD . .sin
ac.
1
2
ad.
1
2
SB.
SD.sin
SB.
SC.sin
bd
bc
sin
sin
ac.sin
bd
ad.sin
bc
Můţeme tedy napsat
sin ac.sin
bd
( ABCD)
.
sin ad.sin
bc
Výraz na pravé straně zjevně vůbec nezávisí na poloze přímky p.
sin ac.sin
bd
Lze tedy napsat ( A B C D )
( ABCD)
( A B C D ) .
sin ad.sin
bc
Doporučená animace: 1a Pappova věta.
7