Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
Pro geometrickou interpretaci druhé křivosti platí, ţe druhá křivost je jakousi mírou pro
odchýlení či vykroucení z její oskulační roviny do prostoru. Dále platí: Nechť popsaná
regulární křivka má v kaţdém bodě druhou křivost rovnou nule, potom jde o křivku
rovinnou. Je zřejmé, ţe platí i věta opačná. Kaţdá rovinná křivka má druhou křivost nulovou.
Frenetovy vzorce.
Mějme tři vektory u, v a w, které tvoří doprovodný trojhran (ortonormální reperér). Jsou tedy
navzájem kolmé a jednotkové.
Předpokládejme, ţe pomocí vektorových funkcí
u = u(t), v = v(t), w = w(t), t J
je v kaţdém bodě P(t) křivky k dané rovnicemi (6.11) definován doprovodný trojhran.
V kaţdém bodě P(t) můţeme tedy vypočítat vektory
kombinaci vektorů u, v a w.
u, v
a w a vyjádřit je jako lineární
Tuto kombinaci zapíšeme takto:
u = a 11 u + a 12 v + a 13 w
v = a 21 u + a 22 v + a 23 w
(6.29)
w = a 31 u + a 32 v + a 33 w
O doprovodném trojhranu platí věta:
Matice koeficientů v rozkladu (6.29) je antisymetrická, to je matice, která má tvar
0
a
a
a
12 13
0
12 23
a
13 23
a
a
0
Pro doprovodný trojhran v kaţdém bodě regulární křivky dostaneme rovnice:
t’ =
1 kn
n’ = - 1 kt + 2 kb Frenetovy vzorce.
b’ = - 2 kn
65