Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
2
( 1 k) 2 xy xy
= . (6.21)
2 2 3
x
y
Má-li rovinná křivka speciální popis x = t, y = y(t), z = 0,
leţí tato křivka v rovině z = 0 a je grafem funkce y = y(x). V tomto případě se rovnice
(6.21) se zjednoduší, a to do následujícího vzorce
2
( 1 k) 2 y
= . (6.22)
2 3
1 y
Druhá křivost křivky
Druhou křivost 2 k v bodě P(s) křivky k odvodíme zkoumáním binormály. Vyjdeme z rovnice
(obdobně jako u 1. křivosti) s parametrem s a derivujeme obě strany rovnice
b . b = 1.
Dostaneme tak vztah
2.b'. b = 0,
z čehoţ plyne, ţe vektor b' je v kaţdém bodě křivky k kolmý k vektoru b, nebo je nulovým
vektorem.
Vyjádříme tedy vektor b' jako lineární kombinaci vektorů t a n takto:
b' = At - 2 kn, (6.23)
kde A, - 2 k jsou neznámé konstanty v lineární kombinaci. Vynásobíme skalárně obě strany
rovnice vektorem t. Dostaneme tak
b'. t = A.
Ukáţeme, ţe A = 0. Z rovnice b . t = 0 plyne dalším derivováním, ţe
b' . t + b . t' = 0.
Odtud a ze vzorce t' = kn si snadno ověříme, ţe b . t' = 0, čili b' . t = 0 a A = 0.
Rovnice (6.23) má tedy tvar
b' = - k . n. (6.24)
Nazývá se třetím Frenetovým vzorcem. Umoţňuje vyslovit definici:
Buď k regulární křivka, popsaná vektorovou rovnicí (6.11). Potom číslo 2 k vypočtené pro
daný bod P(s) křivky k z rovnice (6.24) nazýváme druhou křivostí (torzí) křivky v jejím bodě
P(s).
Výpočet a geometrická interpretace druhé křivosti.
63