Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
1 k =
První křivost šroubovice je konstantní.
r
r
c
2 2
V následujícím se budeme zabývat křivkou, která bude vyjádřena obecně rovnicí
.
p = p(t), t J, (6.15)
kde parametr t je obecným parametrem. Tuto rovnici (6.15) přepíšeme do tvaru
p = p[s(t)], t J. (6.16)
Pravá strana rovnice (6.16) vznikla sloţením funkcí p = p(s) a s = s(t).
Derivováním obou stran rovnice (6.16) dostaneme další rovnici
p = p' ds
dt . (6.17)
Vynásobením skalárně levou i pravou stranu samo sebou odvodíme vztah
ds
p .p
. (6.18)
dt
Úprava rovnice (6.17) pomocí (6.18) vede k nové rovnici
p' =
p
p
. p
2
. (6.19)
Obě strany této rovnice derivujeme podle parametru t. Po úpravě dostaneme:
p" = ds
dt = p
p
. p
p
p
. p
3
p
. p
2
( 1 k) 2 p
. p
. p . p
p
. p
. p
. p
=
3
p
. p
Po zavedení tzv. Lagrangeovy identity dostáváme konečný výsledek
( 1 k) 2 p
p
= . (6.20)
3
p.p
Jestliţe je křivka dána parametrickými rovnicemi
potom z (6.20) plyne, platí
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
y
z
2
x
( 1 k) 2 y z x z x y
=
2 2 2 3
. (6.21)
x
y
z
V případě, ţe křivka leţí v rovině z = 0 a je dána rovnicemi
rovnice (6.21) se zjednodušší a mají tvar
2
z
2
x
x = x(t), y = y(t), z = 0,
y
2
62