Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
Pomocí rovnice
n =
p"
p"
(6.12)
sestrojíme jednotkový vektor hlavní normály n, kolineární s vektorem p". Jelikoţ |p"| = k,
můţeme psát
p" = k n. (6.13)
Obdobně zavedeme pro jednotkový tečný vektor p' označení t = p', můţeme rovnici
(6.13) vyjádřit
t' = 1 kn (6.14)
Tento vzorec (6.14) nazýváme prvním Frenetovým vzorcem.
Pomocí dvou jednotkových vektorů t a n definovaných v bodě P(s), sestrojíme jednotkový
vektor b, který je kolmý na oba vektory n a b. Tento vektor b určíme rovnicí b = t * n. Je
zřejmé (viz obr. 6.3), ţe vektor b je rovnoběţný s binormálou v bodě P(s). Druhá moţnost,
kdy p" = 0, znamená ţe je také první křivost 1 k v daném bodě P(s) rovna nule. V tomto
případě kaţdá tečná rovina je rovinou oskulační. A zkoumaná křivka v tomto bodě P(s) je
přímkou nebo její částí.
Výpočet první křivosti provedeme na příkladu.
Příklad 2. Vypočítejte první křivost v libovolném bodě šroubovice, která je dána vektorovou
rovnicí p = (r.cos t, r.sin t, c.t).
Vektorovou rovnici přepíšeme, tak aby parametrem byl oblouk.
p =
s
s c.
s
r .cos , r.sin
, ,
2 2
2 2 2 2
r c r c r c
Postupným derivováním dostaneme
kde s (- ,+ ).
1
s
s
p" = r.cos
, r.sin
, 0
2 2
r c
2 2
2 2
r c
r c
.
Odtud a ze vzorce
1 k = |p"| = p" .p"
plyne, ţe
61