Studijnà text [pdf] - Personalizace výuky prostÅednictvÃm e-learningu
Studijnà text [pdf] - Personalizace výuky prostÅednictvÃm e-learningu
Studijnà text [pdf] - Personalizace výuky prostÅednictvÃm e-learningu
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Křivky. Tečná a oskulační rovina<br />
dx<br />
d : d y<br />
d : d z<br />
t t dt<br />
f f<br />
= : - : 0<br />
y y<br />
Příklad 1. Napište rovnici tečny v bodě T[3; 4; 0] křivky dané implicitně:<br />
f x 2 + y 2 + z 2 - 25 = 0, g x + y + z - 7 = 0.<br />
Vypočteme aplikací (6.6) :<br />
f<br />
f<br />
f<br />
6 , 8 , 0 ,<br />
x T<br />
y T<br />
z T<br />
g<br />
x T<br />
g<br />
g<br />
1 , 1 , 1 ,<br />
y T<br />
z T<br />
Soustava (6.6) má tvar:<br />
6<br />
dx<br />
dt<br />
dx<br />
dt<br />
dy<br />
8<br />
dt<br />
dy<br />
dt<br />
+<br />
d z<br />
dt<br />
Řešením je vektor (8, -6, -2). Tečna v bodě T zapsána vektorovou rovnicí je:<br />
= 0<br />
= 0<br />
y = (3, 4, 0) + (8, -6, -2), kde (- , + ).<br />
6.2 Oskulační rovina křivky<br />
Kaţdá rovina, která prochází tečnou dané křivky, se nazývá tečnou rovinou křivky.<br />
Dotykovým bodem je dotykový bod křivky, kterým jsme vedli tečnu. (Tečné roviny tvoří<br />
svazek rovin.) Jediná tečná rovina (z tohoto svazku rovin) se nazývá oskulační rovina.<br />
Na obr. 6.1 je zobrazena rovina (h), která je určena tečnou t a spojnicí bodů<br />
58<br />
P P<br />
. Zmíněný<br />
svazek tečných rovin je tedy určen tečnou t. Jednotlivé tečné roviny jsou tedy dány tečnou t a<br />
pohyblivým bodem P na křivce k. Jestliţe bod P se pohybuje po křivce tak, ţe se blíţí k<br />
bodu P(t 0 ), potom v limitním případě, kdy pohyblivý bod P splyne s bodem P se tato tečná<br />
rovina nazývá oskulační rovinou křivky k. Je moţno ukázat, ţe křivka, která není přímkou<br />
nebo její částí, má právě jednu oskulační rovinu. V opačném případě má křivka nekonečně<br />
mnoho "oskulačních" rovin a v tom případě pojem oskulační rovina nezavádíme.<br />
Oskulační rovina (h) je určena bodem P(t 0 ) a dvěma různoběţnými vektory, které jsou s<br />
touto rovinou rovnoběţné