Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky
Příklad 2. Mějme parametrické rovnice
x 1 = t 2 , x 2 = t 2 , x 3 = 0,
kde t (- , + ), je popsána přímka v rovině x = 0.
Pro parametr t = 0 není splněna podmínka (5.2). To znamená, ţe křivka není regulární křivkou
podle uvedené definice. Body, pro které podmínka (5.2) je splněna nazveme regulární body
křivky. Ostatní body křivky, nazveme singulárními body křivky. Křivka, která obsahuje
singulární body není křivkou regulární, ale pouze křivkou. Na obrázku 5.2 je zobrazen
příklad křivky, která "prochází" singulárním bodem P vícekrát. Tedy pro více hodnot
parametru t je splněna podmínka (5.2).
Bod P potom nazýváme vícenásobným bodem křivky.
Obr. 5.2
5.2. Explicitní a implicitní rovnice křivky
Vyjdeme z parametrického vyjádření křivky. Předpokládejme, ţe máme dvě funkce
x 3 = f (x 1 ), x 2 = g (x 1 ), (5.5)
které jsou definovány na společném otevřeném intervalu J a jsou spojité i se svými prvními
derivacemi. Potom mnoţinu všech bodů, které leţí v prostoru E 2 a které můţeme napsat ve
tvaru [x 1 ,f(x 1 ),g(x 1 )], nazýváme regulární křivkou definovanou explicitně. Rovnice (5.5) jsou
tzv. explicitní rovnice křivky.
Zavedeme-li parametr t pro proměnou x, dostaneme:
x 1 = t x 2 = f(t), x 3 = g(t), (5.6)
tedy parametrické vyjádření téţe křivky pro t (- , + ) a ţe rovnice (5.6) splňují
podmínky a), b), c) a d).
49