Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Vlastnosti kuţeloseček
Konstrukce a důkaz věty.
1. Bodem P vedeme libovolnou přímku m, která protne kuţelosečku v bodech 1 M a 2 M.
2. V těchto průsečících 1 M a 2 M sestrojíme tečny 1 t a 2 t.
3. Průsečík tečen 1 t a 2 t označíme jako bod M.
4. Sestrojíme diagonální vrcholy X a Y čtyřrohu 1 M 2 M 1 A 2 A.
Třetím diagonálním vrcholem čtyřrohu je bod P.
5. Označíme:
1 2 1 2 M 1 2, M 4 5, A 3, A 6.
Dle Pascalovy věty platí, ţe body
M I, X II a Y III ………….. leţí na přímce p.
Z vlastností úplného čtyřrohu
1 M
2 M
1 A
2 A plyne:
( 1 M 2 M P P m ) = ( 1 A 2 A P P a ) = -1.
Přímka p je určena body M a P m a není
tedy závislá na volbě přímky a.
Jde tedy o hledanou poláru p bodu P.
Jestliţe přímka p protíná kuţelosečku k v
bodech 1 P a 2 P , potom lze ukázat, ţe
tečny 1 t P a 2 t P kuţelosečky v bodech
1 2 P a P procházejí bodem P.
Lze dále ukázat:
Polára bodu P prochází spojnicí dotykových Obr. 3.2
bodů tečen vedených ke kuţelosečce z bodu P.
Jestliţe bod - pól - leţí na kuţelosečce, potom polára tohoto bodu je tečna kuţelosečky s
bodem dotyku právě v tomto bodě.
Jestliţe bod Q leţí na poláře p bodu P kuţelosečky k, potom polára q bodu Q prochází bodem
P.
Na obrázku 3.2 je dán trojúhelník PQR tak, ţe kaţdá strana tohoto trojúhelníka je polárou
protějšího vrcholu. Takovýto trojúhelník se nazývá polárním trojúhelníkem kuţelosečky k.
23