Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
10. PRVNÍ A DRUHÁ FORMA PLOCHY
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete
znát pojem první a druhé základní formy plochy
umět určit křivost plochy
Výklad
První základní forma plochy
Čtverec diferenciálu oblouku křivky u = u(t), v = v(t) na ploše r = r(u,v) je dán vzorcem
ds 2 = E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = I. (10.1)
Tato kvadratická diferenciální forma (10.1) se nazývá první (metrická) základní forma
plochy.
ds
... se nazývá lineární element (prvek, element oblouku) na ploše.
E,F,G ... se nazývají tzv. (Gaussovy) základní veličiny plochy 1. řádu.
Věta 8.
Pro úhel křivek u = u(t), v = v(t) a u u( t) , v v( t) plochy r = r(u, v), jdoucím jejím
obecným bodem, platí
Věta 9.
plochy platí:
Příklad 1.
cos
Eu
2
Euu
2Fuv
F uv
Gv
2
uv
Eu
2
Guv
2Fuv
Gv
2
(10.2)
Pro úhel parametrické v-křivky s parametrickou u-křivkou (v tomto pořadí) v bodě
cos
Pro kulovou plochu danou parametricky
určíme:
F
EG , sin D
EG , ( D EG F 2 ) (10.3)
x = r sin u cos v, y = r sin u sin v, z = r cos u
104