Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
Pro objasnění některých vlastností rozvinutelných ploch provedeme následující konstrukci.
Předpokládejme, ţe plocha je obálkou jednoparametrické soustavy rovin je tedy
rozvinutelnou plochou.
Tuto rovnici soustavy rovin zapíšeme ve tvaru:
n 1 ( )x 1 + n 2 ( )x 2 + n 3 ( )x 3 + a( ) = 0, (9.27)
kde J (J je otevřený interval), tak, aby pro kaţdé J byl vektor n( ) = (n 1 ( ),n 2 ( ),n 3
( )) jednotkovým vektorem. Při dodatečném předpokladu, ţe pro kaţdé J je
vektor n ( ) nenulovým vektorem.
Obálka vyhovuje rovnicím
n 1 ( )x 1 + n 2 ( )x 2 + n 3 ( )x 3 + a( ) = 0,
n 1 ( )x 1 + n 2 ( )x 2 + n 3 ( )x 3 + a ( ) = 0. (9.28)
Označme mnoţinu všech bodů, které vyhovují soustavě (9.28). Plocha je zřejmě buď
totoţná s mnoţinou
provedeme konstrukci plochy .
nebo je její částí. Nejprve ukáţeme konstrukci mnoţiny , a posléze
Derivujme nejprve obě strany identity n( ) . n( ) = 1.
Dostaneme tak vztah 2n ( .). n( ) = 0, z čehoţ vyplývá, ţe pro kaţdé
J jsou vektory
n( ) a n ( .) na sebe kolmé. Dvojice rovin určené rovnicemi (9.28) jsou vţdy různoběţné.
Mnoţina
Řešme soustavu rovnic
se skládá ze všech přímek, které jsou jejich průsečnicemi.
n 1 ( )x 1 + n 2 ( )x 2 + n 3 ( )x 3 + a( ) = 0,
n 1 ( )x 1 + n 2 ( )x 2 + n 3 ( )x 3 + a ( ) = 0, (9.29)
n 1 ( )x 1 + n 2 ( )x 2 + n 3 ( )x 3 + a ( ) = 0,
a zkoumejme, jak s tímto řešením souvisí mnoţina . V zájmu zjednodušení předpokládejme
dodatečně, ţe funkce n 1 ( ), n 2 ( ), n 3 ( ) a a( ) jsou v rovnici (9.27) zvoleny tak, ţe při
řešení soustavy (9.29) mohou nastat tyto případy:
1. Pro kaţdé je determinant soustavy (9.29) roven nule. Válcová plocha. (Obr. 9.12 a)
2. Pro kaţdé je determinant soustavy různý od nuly. Řešením soustavy (9.29) pro všechna
J je jediný bod V. Kuţelová plocha. (Obr. 9.12b)
101