ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

78
изображенный на рис. 2.18.б), обладает наименьшей структурной
энтропией на множестве графов {(G ~ ) + }.
Справедливы предложения.
Предложение 2.15. Наибольшей структурной энтропией и энтропией
несовершенства на множестве орграфов {(G ~ ) + } обладает предельный
структурно-завершенный орграф (G ~ ) ++ .
Предложение 2.16. Если некоторый орграф из {(G ~ ) + } обладает
минимальной структурной энтропией, то он обладает также минимальной
энтропией несовершенства. Обратное, в общем случае, неверно.
Тот факт, что из минимальной энтропии несовершенства не вытекает
минимальность структурной энтропии, наглядно демонстрирует рис. 2.18.
Предложение 2.14 подсказывает алгоритм построения структурнозавершенного
орграфа с минимальной структурной энтропией, а именно:
построение вершин – листьев (операция расщепления) необходимо
начинать с вершин ствола, имеющих максимальную структурную
энтропию, т.е. терминальных вершин. В последнюю очередь расщепляется
базовая вершина (если она дискретная). Назовем этот алгоритм OPTIMA.
Предложение 2.17. Алгоритм OPTIMA обеспечивает построение
структурно-завершенного орграфа доменов с минимальной структурной
энтропией на множестве {(G ~ ) + }. Решение в общем случае не единственно.
Обоснованность утверждения вытекает из Предложения 2.14. Не
единственность решения вытекает из возможности наличия вершин с
одинаковой максимальной энтропией. Как следует из предложения 2.16,
алгоритм ОПТИМА обеспечивает построение структурно-завершенного
орграфа с наименьшей энтропией несовершенства.
Приведем пример двух структурно-завершенных орграфов с
минимальной энтропией. Зададим орграф «Теста А» следующим образом:
Тест A:
3 #1 {1; 2; 3; 4 5};
2 {1; 2 3; 4; 5};
1 {1; 2; 3; 4; 5}.
G(A) = {1 → 2; 1 → 3}.
Э(1) = 0; Э(2) = 1; Э(3) = 1; Э(G(A)) = ∆Э(1 → 2) + ∆Э(1 → 3) = 1 + 1 = 2.
Э опт (G(A)) = ∆Э опт (1 → 2) + ∆Э опт (1 → 3) = 0 + 0 = 0.
На рис. 2.19.а) показан структурно-завершенный орграф с минимальной
структурной энтропией, а на рис. 2.19.б) – с максимальной структурной
энтропией на множестве всех деревьев (в это число не входит предельный
структурно-завершенный орграф). В данном примере существует ровно два
структурно-завершенных орграфа с минимальной структурной энтропией.
Первый представлен на рис. 2.19.а). Другой получается из первого
перемещением блуждающей вершины-листка с кодом «1» (желтая