ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

74
обобщений в рамках орграфа G(τ), тогда энтропия пути определяется
соотношением:
∆Э([T 1 → T n ]) = ∆Э(T 1 → T 2 ) + ∆Э(T 2 → T 3 ) +…+ ∆Э(T n-1 → T n ). (2.11)
Из предложения 2.10 вытекает справедливость следующего выражения:
∆Э([T 1 → T n ]) = ∆Э([T 1 → T n ]), (2.12)
где T j – каноническое представление вершины T j (j = 1,…, n).
Энтропию базовой вершины-домена T 0 примем равной нулю.
Структурную энтропию вершины T орграфа G(τ) определим следующим
образом:
Э(T) = ∆Э([T 0 → T]), (2.13)
где T 0 – базовый домен, [T 0 → T] – один из путей к вершине T. Выражение
(2.13) показывает, что с повышением уровня общности (удаленности от
базовой вершины) энтропия вершины монотонно возрастает.
Справедливы следующие предложения.
Предложение 2.11. Если базовая вершина орграфа G(τ) дискретная, то
структурная энтропия любой вершины орграфа определяется
единственным образом и не зависит от наличия различных путей к
вершине.
Предложение 2.12. Если базовая вершина орграфа G(τ) непрерывная,
то можно таким образом подобрать функцию g в выражении (2.8), что
энтропия любой вершины орграфа будет определяться единственным
образом, т.е. не будет зависеть от наличия различных путей к вершине.
Если в орграфе G(τ) существует только одна связка (T {} → T′), то
можно положить g = 0. Пусть существует несколько связок (T {} → T j ) , где
j = 1,…, J. Без потери общности будем считать, что вершины T j
упорядочены по мощности, а именно: |T 1 | ≥ |T 2 | ≥ … ≥ |T J |. Положим:
g(|T j |) = |T 1 | - |T j |. (2.14)
Функция g, определяемая формулой (2.14), удовлетворяет требованию
предложения 2.12. Выражение (2.8) можно переписать в следующем виде:
∆Э(T {} → T j ) = C + |T 1 | - |T j |. (2.15)
Для примера зададим орграф «теста Х» следующим образом:
Тест Х: 1 {} 2{1; 2; 3; 4} 3 {1 2; 3 4}.
G(X) = {1 → 2 → 3; 1 → 3}.
В данном примере вопрос заключается в энтропии вершины «3», так как
имеются два пути вычисления энтропии данной вершины. Очевидно: |2|=4,