ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

73
∆Э(T {1; 2; 3; 4; 5} → T′ {1; 2 3 4; 5}) = 2;
∆Э(T {1; 2; 3; 4; 5} → T′ {1; 2 3 4 5}) = 3.
Таким образом, приращение энтропии в связке доменов «предок –
потомок» – это мера множества тех элементов домена-предка,
дифференциация которых теряется при переходе к домену-потомку.
Общую структурную энтропию орграфа доменов G(τ) определим
выражением
Э(G(τ)) = ∑ G ∆Э(T → T′). (2.7)
Уточним, что мы будем понимать под приращением энтропии в рамках
преобразования (T{} → T′), где T {} – базовая непрерывная или дискретнонепрерывная
вершина. Если применить в чистом виде логику рассуждений
для дискретных доменов, то ∆Э(T {} → T′) = ∞, так как применяется схема
преобразования «интервал значений в 1» или «∞ в 1». Для
конструктивности можно предложить следующую формулу:
∆Э(T {} → T′) = C + g(|T′|), (2.8)
где C – некоторая большая положительная константа, а g(|T′|) – функция,
которая уменьшается с увеличением числа элементов в домене T′ (энтропия
перехода с увеличением |T′| уменьшается). Конкретный вид функции g
определяется требованием однозначности вычисления структурной
энтропии произвольной вершины орграфа, но об этом чуть позже.
Видимо будет правильно считать, что С больше суммарной структурной
энтропии дискретной части орграфа доменов, т.е.
C ≥ ∑ G ∆Э(T → T′| T, T′ - дискретные домены). (2.9)
Справедливы следующие предложения.
Предложение 2.9. Для любого орграфа доменов G(τ) выполняются
следующие соотношения:
(i) Для любой дискретной связки (T → T′) ∈ G(τ) верно:
1 ≤ ∆Э(T → T′) ≤ |T | - 2. (2.10)
(ii) Э(G(τ)) ≥ |{T → T′}|, где |{T → T′}| – множество всех дуг в орграфе.
Предложение 2.10. Пусть G(τ) – каноническое представление орграфа
G(τ), тогда выполняются соотношения:
(i) ∀ (T → T′) ∈ G(τ) верно: ∆Э(T → T′) = ∆Э(T → T′).
(ii) Э(G(τ)) = Э(G(τ)).
Доказательство данных предложений не вызывает затруднений.
Пусть [T 1 → T n ] = (T 1 → T 2 → … → T n ) произвольная цепочка