ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

{Возраст/ В1 33; Возраст/ В5 средних лет} ‾ = {Возраст/ В1 33}.
55
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.7. Пусть задано {τ/T}, тогда замыкание и верхний
предел над орграфами {G(τ) | τ ∈ Test({τ/T})} определяются единственным
образом, а нижний предел, в общем случае, определяется не единственным
образом.
Единственность замыкания доказывается от противного. Предположим,
что существуют два разных замыкания ({τ/T} + ) 1 и ({τ/T} + ) 2 , тогда должны
существовать непустые множества
A = ({τ/T} + ) 1 \ ({τ/T} + ) 2 и B = ({τ/T} + ) 2 \({τ/T} + ) 1 ,
иначе одно замыкание будет подмножеством другого, что противоречит
определению замыкания. Так как {τ/T} ⊂ ({τ/T} + ) 1 ∩ ({τ/T} + ) 2 , то
получается, что из {τ/T} одновременно и можно, и нельзя получить
элементы множеств A и B. Пришли к противоречию, что доказывает
единственность замыкания. Поскольку замыкание определяется
единственным образом, то его подмножество – элементы терминальных
вершин – определяется единственным образом, следовательно, верхний
предел определяется единственным образом.
Для доказательства не единственности определения нижнего предела
приведем пример.
Пусть {τ/T} = {s/S1 10; v/V1 5; t/T1 2}. Как легко убедиться,
множество {τ/T} неконфликтно над орграфами {G(τ) | τ ∈ Test({τ/T})}
(замыкание не содержит конфликтных значений, так как в базовых доменах
выполняется условие: s = v * t). Определим нижний предел {τ/T} над
орграфами {G(τ) | τ ∈ Test({τ/T})} = {G(Скорость); G(Путь); G(Время)}.
Имеем три варианта нижних пределов:
{τ/T} ‾ = {s/S1 10; v/V1 5}; {τ/T} ‾ = {v/V1 5; t/T1 2};
{τ/T} ‾ = {s/S1 10; t/T1 2}.
Любой из представленных вариантов позволяет восстановить исходное
множество результатов тестов (благодаря онтологическим соглашениям).
Данный пример показывает, что нижний предел определяется в ряде
случаев неоднозначно.
Рассмотрим еще примеры над орграфами {G(Скорость); G(Путь);
G(Время)}.
Если {τ/T} = {s/S1 10; v/V1 5}, то получим единственный вариант
нижнего предела над орграфами {G(τ) | τ ∈ Test({τ/T})} = {G(Скорость);
G(Путь)}, который совпадает с исходными данными.
Множество {τ/T} = {s/S1 10; v/V1 5; t/T2 Среднее} неконфликтно.
Легко убедиться, что {τ/T} ‾ = {s/S1 10; v/V1 5} и оно единственно.