ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

252
при построении орграфа набросков любого образа, любой ситуации и
практической реализацией Принципа полимодельной дополнительности,
конкурентности и отбора.
Для исследования критических систем часто применяется прием,
называемый масштабным преобразованием, или перенормировкой.
Перенормировка заключается в огрублении пространственного
разрешения, в результате чего несколько элементов исходной системы
объединяются в единый блок, который на новом масштабе уже
рассматривается как самостоятельный элемент [96]. Перенормировка
является примером построения набросков все более высокого уровня
общности.
Как отмечается в работе [99], основной целью исследований при
решении сложных задач является построение иерархии упрощенных
моделей. Идея построения иерархии моделей достаточно проста. Вначале
выделяются основные, ключевые процессы, играющие главную роль в
изучаемом явлении на данных пространственных и временных масштабах.
Затем строятся еще более простые модели явления с меньшей областью
применимости и учитывающие еще меньшее количество факторов. И так
происходит до тех пор, пока не возникают простейшие модели, поведение
которых уже понятно. Только после того как модели нижнего уровня
изучены и поняты, удается перейти на следующий, более высокий уровень.
Перечислим некоторые процедуры «генерации» простых моделей или
малоразмерных моделей (набросков) из сложных [13, 99, 187].
1. Метод замены переменных. Этот метод состоит в построении замен
для искомых функций и независимых переменных, преобразующих
уравнения исходной модели в новую систему уравнений, которая
поддаётся детальному исследованию известными численноаналитическими
методами. Так, в преобразованной системе уравнений
может обнаружиться малый параметр ε, тем самым расчищается путь для
применения асимптотических методов. В некоторых случаях при ε = 0
оказывается возможной декомпозиция преобразованной системы на более
простые подсистемы меньшей размерности.
2. Введение агрегированных переменных, или макропеременных. Так
как макропеременных существенно меньше по сравнению с исходными, то
относительно макропеременных получается (точно или приближённо)
замкнутая система уравнений, которая и представляет собой существенно
более простую малоразмерную модель, доступную для детального
численно-аналитического исследования.
3. Применение методов теории сингулярных возмущений. Многие
математические модели представляют собой системы обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка, которые после