ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

211
один синдром. В редуцированной модели это правило не выполняется: для
прецедентов α({τ/T}, z k ) синдромы отсутствуют.
Таким образом, редуцированная модель знаний является более сложной
структурой, чем просто синдромная модель знаний, но это усложнение
позволяет сократить (иногда значительно) как общее число синдромов, так
и, возможно, число используемых тестов.
Приведем пример. Пусть Z = {1, 2, 3}; {S} 1 = {S 1 ; S 2 ; S 3 }; {S} 2 = {S 4 ; S 5 ;
S 6 }; {S} 3 = {S 7 ; S 8 }. Получаем две эквивалентные (по числу синдромов)
редуцированные модели знаний:
{S} ~ = {S} 1 ∪ {S} 3 & (z 2 ⇔ ¬z 1 & ¬z 3 = true); I 1 = {1, 3};
{S} ~ = {S} 2 ∪ {S} 3 & (z 1 ⇔ ¬z 2 & ¬z 3 = true); I 2 = {2, 3}.
Выбор первой или второй редуцированной модели может зависеть от числа
используемых тестов в каждой модели, от суммарного веса синдромов, от
суммарной стоимости тестов или от других свойств тестов (например,
комфортности, опасности и т.д.).
Редуцированные модели можно также минимизировать, как и
синдромные модели {S} Min . Более того, редуцированные модели
целесообразно строить на основе {S} Min . Уточним данное положение.
Решим задачу (5.26) для множества моделей {S * } * Min на .
Получим величину L * = L I и множество {I}, где каждое I ∈ {I}
обеспечивает достижение L * .
Предложение 5.19. Во всех моделях {S * } * Min на мощность
каждого сегмента {S} j (j ∈ Z) одинакова. Константа L * и множества {I} для
всех моделей {S * } * Min также одинаковы.
Действительно, каждый сегмент {S} j (j ∈ Z) оптимизируется
(минимизируется) независимо от других, следовательно, глобальный
оптимум у них один. Совпадение глобальных оптимумов по каждому
сегменту {S} j (j ∈ Z) означает универсальность константы L * и множества
{I} для всех моделей {S * } * Min.
Предложение 5.20. Константа L * определяет абсолютно минимальное
число синдромов, которое может быть использовано в редуцированной
модели знаний для решения задачи классификации на Ω. Оптимальные
редуцированные модели знаний строятся на основе любой {S * } * Min.
Пусть K * – общее число моделей знаний {S * } * Min, а K ~ – общее число
оптимальных редуцированных моделей знаний ({S * } * Min) ~ . Справедлива
оценка
K ~ ≤ K * ⋅ |{I}|. (5.29)
Неравенство в выражении (5.29) означает, что некоторые оптимальные
модели знаний могут совпадать.
Уточним величину K * . Мощность каждого сегмента {S} j (j ∈ Z) в