ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

173
4.3.1 Описание метода
Пусть дано конечное множество пар наблюдений
W = { | x ∈ R, z ∈ {1,…, N}}.
Из множества W построим упорядоченное множество кортежей W’
следующим образом:
1. Упорядочиваем множество W по возрастанию x и удаляем все
совпадающие кортежи.
2. Объединяем все совпадающие по x пары наблюдений в один кортеж.
Получаем: W′ = { j | все x различны} ≡ { j |∀j ∈{1,…, k-1},
x j < x j+1 ; Z j ={z 1 ,…, z p } j }, |W′| = k.
Разобьем W′ на минимальное число подмножеств W j = {} j (j= 1,…,
m) таким образом, что выполняются два условия:
1. Если ∈ W j и ∈ W j , то Z = Z’.
2. Если для кортежей и справедливо: Z = Z’, но при этом
существует кортеж такой, что x < x” < x’ и Z” ≠ Z, то кортежи и принадлежат разным W j .
Предложение 4.1. Для любого множества наблюдений W разбиение
W′ = ∪ j=1,m W j строится единственным образом (с точностью до нумерации).
Набор Z j будем называть типом W j . Разные W j (j = 1,…, m) могут иметь
одинаковый тип. Удобно все типы пронумеровать произвольным образом
от 1 до n, где n – максимальное число различных типов. Ясно, что n ≤ m.
Эквивалентные представления W′: W″= {}, где p – тип. Если p j – тип
W j , то можно записать:
W″ = ∪ j = 1,m W j (p j ). (4.7)
Разобьем отрезок [x min , x max ] = [x 1 , x k ] на непересекающиеся интервалы A i
(i = 1,…, m) таким образом, чтобы в каждый интервал попали все x из W i .
Некоторые интервалы могут быть вырожденными, т.е. состоять из одной
точки. Очевидно, разбиение {A i } определяется не единственным образом.
На разбиение {A i } могут накладываться дополнительные ограничения,
например, требование целочисленности интервалов.
Метод штрихкода для произвольного множества наблюдений W строит
разные виды разбиений {A i } с учетом имеющихся ограничений. Он
включает в себя три этапа. На первом этапе строится множество W’. На
втором этапе строится разбиение W″. На третьем этапе строится искомое
разбиение A = { j } (j = 1,…, m), где p j – тип, совпадающий с типом
W j (p j ).
Рассмотрим пример. Пусть дано конечное множество пар наблюдений