ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ: методология, задачи ...

108
Исходная ситуация – черная вершина в верхней части рисунка; красная и
зеленые вершины внизу – финитные наброски; синие вершины в 3-м слое –
наброски экстремального пограничного слоя. Множество {F} содержит
четыре отображения.
В качестве исходного образа может выступать вся база прецедентов
Ω(Z) или любой ее фрагмент. За значимую характеристику a/A можно
принять отсутствие конфликта данных.
Приведем пример множества отображений {F}. Пусть любая ситуация
действительности α описывается с помощью банка тестов {G(τ)}. Без
потери общности будем считать, что каждый тест входит в описание
ситуации только один раз. Элементарный акт обобщения (T→ T’) в рамках
орграфа G(τ) обозначим F τ .
Множество {F τ | τ ∈{τ: G(τ)}} удовлетворяет требованиям (a) – (c),
предъявляемым к отображениям из {F}. Действительно, условие (a)
выполняется, так как любое обобщение приводит к потере части
информации. Условие (b) выполняется, так как элементарное обобщение
значения лишь одного теста незначительно уменьшает объем информации
обо всей ситуации. Другими словами, коэффициенты сжатия всех F τ
можно считать сопоставимыми. Покажем, что выполняется также и
условие (с).
Пусть [T 1 → T n ] = (T 1 → T 2 → … → T n ) произвольная цепочка
обобщений в рамках орграфа G(τ). Длину максимальной цепочки
обобщений в произвольном орграфе G(τ) обозначим L τ .
Предложение 3.2. Если {F} = {F τ | τ ∈{τ: G(τ)}}, то выполняется
соотношение:
∀α({τ}), K α ≤ Σ {τ} L τ . (3.14)
Предложение 3.2 доказывает условие (c).
Множество терминальных вершин в орграфе G(τ) обозначим V τ . Общее
количество набросков в орграфе Gs(α) и общее количество финитных
набросков дает следующее предложение.
Предложение 3.3. Если {F} = {F τ | τ ∈{τ: G(τ)}}, то выполняются
соотношения:
∀α({τ}), |Gs(α)| = Π {τ} |G(τ)|, (3.15)
∀α({τ}), |{α*}| = Π {τ} V τ , (3.16)
где |Gs(α)|, |G(τ)| - число вершин в орграфах (при условии, что каждый тест
входит в описание α один раз).
Из (3.16) следует, что если в орграфах доменов всех тестов всего одна
терминальная вершина, то орграф набросков содержит лишь один