L'HOSPITALOVO PRAVIDLO

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 7.1 -
L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
LIMITY TYPU 0/0
PŘÍKLAD 1
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete
sin x
lim .
x→0
x
Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty 1
Přímočarým použitím věty o limitě podílu získáváme
sin x limsin x 0
lim
x→0
x lim x 0
x→0
= = .
x→0
Jedná se tedy o neurčitou limitu typu 0/0 a můžeme použít L´Hospitalova pravidla.
Použití L´Hospitalova pravidla 2
sin x ( sin x)
′
cos x
lim = lim = lim = lim cos x = cos 0 = 1.
x→ 0 x x→ 0 x′
x→ 0 1 x→
0
Řešení
PŘÍKLAD 2
1−
cosx
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim .
x →0
2
x
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty
Použití L´Hospitalova pravidla
( − cos x)
1−
cosx
lim 1 0
lim = = .
x→0
x lim 0
x→0
2 2
x
x→0
1−
cosx
( 1−cosx)
′ 0−( −sinx)
1 sinx
lim = lim = lim = lim .
x→0 2
x x→0 ′ x→0 2x 2 x→0
x
2
( x )
Použitím L´Hospitalova pravidla jsme tedy dospěli k limitě z příkladu 1. O té ale víme, že je
rovna jedné. Můžeme proto psát
1 Použití L´Hospitalova pravidla, ať již v základní verzi podle L´Hospitalovy věty nebo v některé z verzí rozšířených,
zahrnuje vždy dva kroky: a) ověření předpokladů, za nichž lze výpočet provést, b) samotný výpočet.
Na místě je upozornění, že první krok je rovnocenný kroku druhému a není jej možno vynechat.
2 Uvedený příklad je pouze jednoduchou ilustrací použití L´Hospitalovy věty. Ve skutečnosti bychom takto
uvedenou limitu počítat nemohli, neboť k výpočtu potřebujeme znát derivaci funkce sinus a k určení této derivace
zase počítanou limitu. Pohybujeme se tedy v kruhu. Stejná výhrada platí i pro příklad následující.

L´Hospitalovo pravidlo - 7.2 -
1−
cosx
1 1
lim = × 1 = .
x→0
2
x 2 2
Pokud bychom ale výsledek příkladu 1 neměli k dispozici, museli bychom použít
L´Hospitalova pravidla ještě jednou.
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 1 A 2
1. Pomocí L´Hospitalova pravidla určete následující limity.
a)
lim
x→0
1
xsin
x
− cos x
c)
x
e −1
lim
x→0
x
e)
e
x
lim
x→0
1
( 1 x)
− +
− cos x
g)
arctg x
x
lim
x→0
arcsin
b)
tg
lim
x →0
x
x
x
e −1−x
d) lim
x→0
2
x
f)
lim
x →0
1+ x −1
x
h)
100
(1 + x) − (1 + 100 x)
lim
x→0
(1 )
99
+ x − (1 + 99 x )
LIMITY TYPU ∞/∞
PŘÍKLAD 3
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete
ln x
lim .
x→+∞
x
Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty
Přímočarým použitím věty o limitě podílu získáváme 3
lim
x→+∞
ln
x
x
lim ln x
x→+∞
+∞
= = .
lim x +∞
x→+∞
Jedná se tedy o neurčitou limitu typu ∞/∞ a můžeme použít L´Hospitalova pravidla.
Použití L´Hospitalova pravidla
ln x ( ln x)
′
1/ x 1 1
lim = lim = lim = lim = = 0 .
x→+∞ x x→+∞ x′ x→+∞ 1 x→+∞
x +∞
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 3
1. Pomocí L´Hospitalova pravidla určete následující limity.
a)
lim
x→+∞
2
ln
x
x
c)
ln x
lim
x→−∞
x
x
e
e) lim
x→+∞
x
g)
(1 + x)
lim
x→+∞
5
x
100
b)
5
ln x
lim
x→+∞
x
d)
log
lim 2
x
x→+∞
x
e
f) lim
x→+∞
x
x
n
, n ∈ h)
(1−
2 x)
xlim
→−∞ (1 + 2 x )
3
3
3 Stačilo by ovšem ověřit jen, že lim | x| ≡ lim x =+∞ ( viz Breviář, L´Hospitalova věta).
x→+∞
x→+∞

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 7.3 -
LIMITY TYPU 0.∞
Řešení
PŘÍKLAD 4
Určete lim ( x ln x)
+
x→0
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Limita, kterou se máme zabývat nyní, není ani neurčitou limitou typu 0/0, ani limitou typu
∞/∞. L´Hospitalova pravidla nemůžeme tedy použít, aniž provedeme jisté úpravy limitovaného
výrazu. V tomto případě vede k cíli úprava
ln x
xln
x= ,
1/ x
která uvedenou limitu převádí na limitu typu ∞/∞. Platí totiž
Použití L´Hospitalova pravidla
lim ln x = −∞ a
+
x→0
( ln x)
( 1/ x)
+
x→0
.
1
lim = +∞ .
x
2
ln x
′
1/ x ⎛1
x ⎞
( )
+ + + + 2
+ ⎜ ⎟
+
x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0
lim xln x = lim = lim = lim =− lim × =− lim x=
0 .
1/ x ′ −1/ x ⎝ x 1 ⎠
PŘÍKLAD 5
2
2 x
Určete lim ( xe )
−
x→+∞
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Úprava
2
2
2 − x x
xe =
2
,
x
e
převádí uvedenou limitu na typ ∞/∞. Platí totiž
lim x
x→+∞
2
= +∞ a
lim e
x2
= +∞ .
x→+∞
Při výpočtu této limity již můžeme použít L´Hospitalovo pravidlo.
Použití L´Hospitalova pravidla
2
2
2
( x
′
2 − x x
) 2x
1 1
lim ( xe ) = lim
2
= lim = lim
2
= lim
2
= = 0 .
x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x x→+∞
x
e ′ 2xe e +∞
2
x
( e )
.

L´Hospitalovo pravidlo - 7.4 -
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5
1. Určete následující limity.
a) lim ( x
2 log | x | )
−
x→0
b) lim ( ln x arctg x)
+
x→0
× c) lim ( xe )
n − x2
x→+∞
, n ∈ d)
⎛ 1 ⎞
lim ⎜x
arctg ⎟
x→−∞⎝
x ⎠
LIMITY TYPU 1 ∞ , 0 0 a ∞ 0
PŘÍKLAD 6
Určete ( ) 1/
lim 1+ ax , a ∈ .
+
x→0
x
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Ani při výpočtu této limity nelze použít L´Hospitalovo pravidlo přímo (jedná se o limitu typu
1 ∞ ) a je nutno nejdříve provést úpravu 4
Pak můžeme psát
( 1 )
( + ax)
ln 1
1/ x
1/ x ln( 1+
ax)
x
+ ax = e = e .
( )
1/ x
+ +
x→0 x→0
( + ax) ln( 1+
ax)
ln 1
lim
→ 0
x
x x
lim 1+ ax = lim e = e +
.
Použití L´Hospitalova pravidla
Především platí
ln ( 1+ ax
1
) ln ( 1+
ax) ′
1+
ax
a a
lim = lim = lim = lim =
+ + + +
x→0 x x→0 x′ x→0 1 x→0
1+
ax
a proto i
x a
lim 1+ ax = e .
+
x→0
( ) 1/
a ,
PŘÍKLAD 7
Určete lim x
x .
+
x→0
Řešení
Dříve, než použijeme L´Hospitalovo pravidlo, musíme provést úpravu
pomocí které již můžeme psát
x
= e ,
x xln
x
x
lim x
xln
x
lim e
lim xln
x
x→0
e +
+
x→0 +
x→0
= = .
4 viz Breviář, kap. 1.6

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 7.5 -
Tím je původní limita převedena na výpočet limity
lim ( xln x) = 0 , a proto platí i
+
x→0
lim x ln x
+
x→0
x 0
lim x = e = 1.
+
x→0
z příkladu 4, kde je ukázáno, že
Řešení
PŘÍKLAD 8
Určete ( ) 1/
lim 1+ ax , a > 0 .
x→+∞
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Úprava, kterou použijeme před aplikací L´Hospitalova pravidla, je stejná jako v příkladech
6 a 7
Můžeme tedy psát
( 1 )
x
( + ax)
ln 1
1/ x
1/ x ln( 1+
ax)
x
+ ax = e = e .
( )
1/ x
( + ax) ( + ax)
ln 1 ln 1
lim
x
x
x
lim 1+ ax = lim e = e →+∞
.
x→+∞
x→+∞
Použití L´Hospitalova pravidla
Samotné L´Hospitalovo pravidlo použijeme na výpočet limity v exponentu
ln ( 1+ ax
1
) ln ( 1+
ax) ′
a a a a
= = = = = =
x x′ 1 1+ ax 1 + a( +∞ ) +∞
lim lim lim
1+
ax
lim 0
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞
Pro původní limitu takto získáváme
( ) 1/ x 0
ax e
lim 1+ = = 1.
x→+∞
.
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 6 – 8
1. Určete následující limity.
a)
lim+
⎜
x→0
1
⎛1+
x ⎞
⎟
⎝ − x ⎠
1/ x
b) lim ( sin x) tg
−
x→π
/2
x
c)
lim (sin x) x
+
x→0
d)
lim x
x→+∞
n / x
, n ∈

L´Hospitalovo pravidlo - 7.6 -
LIMITY TYPU ∞ – ∞
Určete
PŘÍKLAD 9
lim
+
x→π
/2
⎛ 1 ⎞
⎜ − tgx⎟
⎝cos
x ⎠ .
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Pomocí úpravy
1 1 sin x 1−
sin x
− tgx
= − =
cos x cos x cos x cos x
převedeme původní limitu (typu ∞ – ∞) na novou limitu
1−
sinx
lim ,
+
x→π
/2 cos x
která je typu 0/0. Při výpočtu této nové limity můžeme tedy použít L´Hospitalovo pravidlo.
Použití L´Hospitalova pravidla
1−sinx ( 1−
sinx)
′
0−cosx cosx
0
lim = lim = lim = lim = = 0 .
+ + + +
x→π /2 cos x x→π /2 cos x′ x→π /2 −sin x x→π
/2 sin x 1
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 9
1. Určete následující limity.
a)
⎛ 1 ⎞
lim ⎜ − cotg x ⎟
⎝sin
x ⎠
+
x→0
⎛1 1 ⎞
b) lim+
⎜ − ⎟
x→0
⎝ x tg x ⎠
(5)
c) lim ( 3 x 2 x )
x→+∞
+ − + (6) d)
lim ⎛ 1 1 ⎞
− ⎜ − ⎟
x→1
⎝ 1 − x 1 − x ⎠
(7)
5 sin x
Po použití L´Hospitalova pravidla využijte v závěrečných úpravách vhodně znalosti limity lim = 1.
6 A nakonec něco z jiného soudku. Limita, kterou máte počítat, je sice limitou typu ∞ −∞, tentokrát je ale vhodnější
úprava poněkud odlišná od té, kterou jsme provedli v předcházejících dvou cvičeních – limitovaný výraz
vynásobte jednotkovým zlomkem
3+ x + 2+
x
3+ x + 2+ x
.
7 1
I zde limitovaný výraz vhodně upravte a při výpočtu použijte lim
x→1
− 1 − x
= +∞ .
x→0
x