Průběh funkce jedné proměnné

More documents

Recommendations

Info

Příklad 4.1.3 Vyšetřete průběh funkce f(x) = arccos 1−x2 1+x 2 . Řešení: 1. Definiční obor: Funkce arccos y je definována pro −1 ≤ y ≤ 1 . Pro vnitřní funkci musí platit −1 ≤ 1 − x2 ≤ 1 , což jesplněno pro ∀x ∈ Ê . Tedy 1+x2 D(f) =(−∞, ∞) . Množina D(f) je symetrická podlepočátku. Platí f(−x) = arccos 1 − (−x)2 1+(−x) 2 1 − x2 = arccos 1+x = f(x) , 2 Funkce je zřejmě sudá, stačívyšetřovat její průběh na intervalu (0, ∞). Funkce není zřejmě periodická. Průsečík se souřadnicovou osou y je v bodě [0, 0] nebot’ f(0) = 0 . Jelikož jevždy arccos y ≥ 0 , jedná seodotykovýbod. Zatím nezjistíme jiné dotykové body grafu funkce a osy x. 2. Funkce je spojitá na D(f) . Limity v krajních bodech D(f) : Jelikož je funkce sudá je lim x→∞ 1−x2 arccos 1+x2 = arccos (−1) = π. Další 1 − x2 lim arccos x→±∞ 1+x = π . 2 . – p.5/8
Příklad 4.1.3 Vyšetřete průběh funkce f(x) = arccos 1−x2 1+x 2 . Řešení: 3. Vypočteme první derivacif ′ aprourčení monotonnosti funkce stanovíme, kdy je f ′ rovna 0, kladná azáporná: f ′ (x) =− −2x(1+x 2 )−2x(1−x 2 ) (1+x 2 ) 2 √ 1 − ( 1−x 2 1+x 2 ) 2 = 4x (1 + x 2 ) √ 4x = 4x 2 (1 + x 2 ) |x| = 2sgnx , pro x ≠0, 1+x2 přičemž f ′ 2sgnx (0 + ) = lim x→0 + 1+x =2 a f ′ (0 2 − )=−2 . Derivace f ′ (x) není tedyvbodě”0” spojitá a nebudeme ji tudíž dodefinovávat v tomto bodě nějakou hodnotou. Platí: f ′ (x) > 0 , pro ∀x ∈ (0, ∞) , funkce je tedy na intervalu (0, ∞) rostoucí. (Ze sudosti funkce plyne, že je klesající naintervalu (−∞, 0)) . Funkce je v bodě ”0” spojitá, ale nemá vtomtobodě derivaci. Tedy vzhledem k monotonnosti funkce, má funkce v bodě x =0 lokální minimum, kteréjezároveň globálním minimem funkce. Jiné lokální ani globální extrémy funkce nemá. 4. Vypočteme druhou derivaci f ′′ aurčíme intervaly konvexity, konkavity funkce (přičemž seomezíme pouze na D(f ′ )=(−∞, 0) ∪ (0, ∞) ): Další f ′′ (x) = ( 2sgnx 1+x 2 ) ′ = −2sgnx 2 x (1 + x 2 ) 2 = −4|x| (1 + x 2 ) 2 . . – p.5/8
Page 1 and 2: Průběh funkce jedné proměnné
Page 3 and 4: Příklad 4.1.1 Vyšetřete průbě
Page 31: Příklad 4.1.3 Vyšetřete průbě
Page 43 and 44: Newtonova metoda • Příklad 4.2.
Page 45 and 46: Příklad 4.2.1 Určete počet koř
Page 65: Příklad 4.2.2 Určete počet koř

Průběh funkce jedné proměnné

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?