Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

7
Návod k řešení:
Zvolíme body A,B,C, které neleží v přímce.
Volíme další body v rovině, dosazujme je postupně za proměnnou X do výrokové
formy AX∩BC≠∅ a zjišťujme, pro které z nich se tato výroková forma stává
pravdivým výrokem. Takové body jsou prvky množiny {X∈E 2 : AX∩BC≠∅}.
Obr.1
Obr.2
P+ + M
A + A +
+ R
B+ + C B + + C
S + G+ + K
Na obr.1 body G, K, B, C patří množině {X∈E 2 :AX∩BC≠∅}, protože průniky úseček
AG, AK, AB, AC s úsečkou BC se vesměs nerovnají prázdné množině (protínají ji),
zatímco body P, M, R, S množině {X∈E 2 :AX∩BC≠∅} nepatří, neboť průniky úseček
AP, AM, AR, AS s úsečkou BC jsou prázdné (neprotínají ji). Lze najít mnoho dalších
bodů, které dané množině patří.
Na obr.2 na základě náležitého zobecnění vyznačíme množinu {X∈E 2 :AX∩BC≠∅}
tím, že ji zakreslíme „šrafováním“.
Hranice útvaru je v tomto případě podmnožinou útvaru, proto ji zakreslíme „silnou
plnou čarou“.
Skutečnost, že hraniční body B, C v tomto případě útvaru patří, zdůrazníme tím, že
je zakreslíme jako „plné kroužky“ .
Uveďme další úlohy 1. typu:
Jsou dány nekolineární body A,B,C. Zakreslete { X∈E 2 : AX∩BC = ∅ } .
Řešení :
Obr.3 L + + M Obr.4
A + A +
+ N
O + +R
B ++ + C B C
+ E
P + F + Q +
Volte různé body prostoru E 2 a zjišťujte, které z nich patří do oboru pravdivosti
výrokové formy A X ∩ B C = ∅ . Na Obr.3 byly např. voleny body L, O, M, N, R, P,
E, F, Q.
Z nich splňují výrokovou formu A X ∩ BC = ∅ body L, O, M, N, R, P, Q, protože
úsečky AL, AO, AM, AN, AR, AP, AQ neprotínají úsečku BC a to znamená, že
jejich průnik s úsečkou BC je prázdná množina.
Na obr.3 však nesplňují výrokovou formu A X ∩ BC = ∅ body E, F, B, C a to
proto, že každá z úseček AE, AF, AB, AC má s úsečkou BC jeden společný bod.
Lze najít mnoho dalších bodů, které dané množině patří.