Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

4 4
17. Uveďte a zdůvodněte vzorce pro výpočet obsahu těchto rovinných obrazců :
trojúhelník, pravoúhlý trojúhelník, rovnoramenný trojúhelník, rovnostranný
trojúhelník, kosodélník, kosočtverec, deltoid.
Míra těles, objem tělesa
Obdobně jako v rovině existují i prostorové útvary, které nejsou měřitelné (např.
poloprostor, vnějšek koule atd., atd.).
Prostorový útvar je měřitelný, právě když je omezený, jeho hranicí je topologický
obraz kulové plochy a je spojitý.
Měřitelný útvar v prostoru budeme nazývat těleso.
Zobrazení množiny všech těles na množinu všech nezáporných reálných čísel se
nazývá míra těles a číslo, které je v tomto zobrazení přiřazeno tělesu T, se nazývá
objem tělesa T [ objem tělesa T se zapisuje V(T) ], právě když platí, že
1. (∃ T) V(T) = 1
slovy: existuje těleso, jehož objem se rovná číslu jedna
nebo: existuje těleso, které má objem 1
nebo: zvolené těleso má objem 1 (obvykle to bývá krychle a to taková
krychle, že její hrana má v délkové míře délku jedna)
2. (∀ T 1 ,T 2 ) T 1 ≅ T 2 ⇒ V(T 1 ) = V(T 2 )
slovy: jestliže dvě tělesa jsou navzájem shodná, pak jejich objemy jsou
si rovny
nebo: objemy dvou shodných těles jsou si rovny
3. (∀T 1 ,T 2 ) jestliže T 1 ,T 2 se nepřekrývají ⇒ V(T 1 ∪T 2 ) = V(T 1 ) + V(T 2 )
slovy: jestliže se tělesa nepřekrývají, pak objem jejich sjednocení se
rovná součtu jejich objemů
nebo: objem sjednocení nepřekrývajících se těles se rovná součtu
jejich objemů
Míra úhlů, velikost úhlu
Zobrazení množiny všech úhlů do množiny všech nezáporných reálných
čísel se nazývá míra úhlů a číslo, které je v tomto zobrazení
přiřazeno úhlu α, se nazývá velikost úhlu α [velikost úhlu α se
zapisuje v(α) ] , právě když platí, že
1. (∃α) v (α) = 1
slovy: existuje úhel, jehož velikost se rovná číslu jedna
nebo: existuje úhel, který má velikost 1
nebo: zvolený úhel má velikost 1
2. (∀α,β) α ≅ β ⇒ v (α) = v (β)
slovy: jestliže dva úhly jsou navzájem shodné, pak jejich velikosti jsou si rovny
nebo: velikosti dvou navzájem shodných úhlů jsou si rovny
3. (∀α,β) v(α+β) = v (α) + v (β)
slovy: velikost grafického součtu dvou úhlů se rovná součtu velikostí těchto
úhlů