Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

4 2
Je vhodné použít čtvercovou síť, nejmenší čtverec v této síti se nazývá základní
čtverec sítě .
Použijeme čtvercovou síť, v níž základním čtvercem je čtverec o obsahu 1
(jednotkový čtverec).
1. Vymezíme v této síti tzv. jádro obrazce:
Jádro obrazce v dané čtvercové síti je sjednocení všech základních čtverců
sítě, z nichž každý je podmnožinou obrazce.
Je zřejmé, že
a) obsah jádra lze přesně určit, rovná se počtu základních čtverců sítě, jejichž je
sjednocením (z nichž se skládá)
b) obsah jádra daného obrazce není větší číslo než obsah měřeného obrazce (který
chceme zjistit ale zatím ho neznáme)
2. Dále vymezíme tzv. obal obrazce:
Obal obrazce v dané čtvercové síti je sjednocení všech základních čtverců
sítě, z nichž každý obsahuje aspoň jeden vnitřní bod obrazce.
Platí, že
a) obsah obalu lze rovněž přesně určit
b) obsah obalu není určitě menší číslo než obsah měřeného obrazce
Výsledky obou zjištění zapíšeme pomocí nerovností:
obsah jádra ≤ obsah měřeného obrazce ≤ obsah obalu
Tím se nám podaří zjistit obsah daného obrazce s určitou přesností .
Přesnějších výsledků pak dosáhneme pomocí tzv. zjemnění sítě .
Vyhodnocení přesnosti zjištění provedeme obdobným způsobem jako u zjišťování
délky úsečky.
ÚLOHY O MĚŘENÍ OBSAHŮ OBRAZCŮ :
1. Jsou dány body S=[2;1], B=[2;6]. Narýsujte kružnici se středem S a
poloměrem SB.
Určete obsah čtvrtiny kruhu o středu S a poloměru SB pomocí jader a obalů
(proveďte aspoň jedno zpřesnění, oba výsledky zapište pomocí nerovností a
v obou případech vypočítejte relativní nepřesnosti).
2. Jsou dány body A=[0;0], B=[5;0], C=[5;2], D=[3;5], E=[2;5], F=[0;3].
a) Zakreslete šestiúhelník ABCDEF .
b) Pomocí jader a obalů zpřesňujte zjišťování obsahu šestiúhelníka ABCDEF.
Použijte jedno zjemnění sítě. Oba výsledky zapište pomocí nerovností a v obou
případech vypočítejte relativní nepřesnosti.
c) Vypočítejte přesně obsah šestiúhelníka ABCDEF.
3. Jsou dány body Q=[1;1], R=[6;1], S=[3;5], T=[1;5] .
Zjistěte obsah pravoúhlého lichoběžníka QRST .
4. Jsou dány body A=[1;1], B=[5;1], C=[5;3], D=[1;3], S=[3;3] .
Obrazec O je sjednocením obdélníka ABCD a kruhu se středem S a poloměrem SC .
Zjistěte obsah obrazce O dvěma způsoby:
- přesně