Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

4 0
Zobrazení množiny všech rovinných obrazců na množinu všech nezáporných
reálných čísel se nazývá míra obrazců a číslo, které je v tomto zobrazení
přiřazeno obrazci O, se nazývá obsah obrazce O [ obsah obrazce O se
zapisuje S (O) ], právě když platí, že
1. (∃ O) S (O) = 1
slovy: existuje obrazec, jehož obsahem je číslo jedna
nebo: existuje obrazec, který má obsah 1
nebo: zvolený obrazec (obvykle to bývá čtverec) má obsah 1
2. (∀ O 1 ,O 2 ) O 1 ≅ O 2 ⇒ S (O 1 ) = S (O 2 )
slovy: jestliže dva obrazce jsou navzájem shodné, pak jejich obsahy jsou si
rovny
nebo: obsahy dvou shodných obrazců jsou si rovny
3. (∀O 1 ,O 2 ) O 1 ,O 2 se nepřekrývají ⇒ S (O 1 ∪O 2 ) = S (O 1 ) + S (O 2 )
slovy: jestliže se obrazce nepřekrývají, pak obsah jejich sjednocení se rovná
součtu jejich obsahů
nebo: obsah sjednocení nepřekrývajících se obrazců se rovná součtu jejich
obsahů
ÚLOHA :
Je dán čtverec ABCD a obdélník KLMN (viz obrázek) :
D C N N 1 N 2 M
A B K 1 L 1
K L 2 L 3 L
Zdůvodněte podle teorie míry, že obsah obdélníka KLMN je roven číslu 6 , jestliže
se obsah čtverce ABCD rovná číslu 1 (říkejme mu „jednotkový čtverec“) .
ŘEŠENÍ :
1. Je splněna podmínka č.1 z definice míry obrazců, totiž že existuje obrazec o
obsahu 1 (je to čtverec ABCD).
Snažme se obdélník KLMN „pokrýt“ čtverci shodnými se čtvercem ABCD (viz
obrázek na další stránce) .
2. Čtverec K 1 L 1 N 1 N je shodný se čtvercem ABCD a tedy podle podmínky č.2
z definice míry obrazců má obsah rovný číslu 1 .
Rovněž čtverec KL 2 L 1 K 1 má obsah 1 , protože je shodný se čtvercem ABCD.
3. Protože čtverce K 1 L 1 N 1 N a KL 2 L 1 K 1 se nepřekrývají a jejich sjednocením je
obdélník KL 2 N 1 N , tak podle podmínky č.3 (opět z definice míry obrazců) je
obsah obdélníka KL 2 N 1 N roven součtu obsahů obou čtverců (1+1) a tedy číslu 2 .
Obdobně zdůvodníme, že každý z obdélníků L 2 L 3 N 2 N 1 , L 3 LMN 2 má obsah 2
(každý z nich je totiž shodný s obdélníkem KL 2 N 1 N ) a protože se nepřekrývají, je