Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

3 6
⎪QP 2 ⎪= ⎪QP 1 ⎪+⎪P 1 P 2 ⎪= 1+1 = 2 , protože úsečka QP 2 je grafickým
součtem úseček QP 1 a P 1 P 2 a protože ⎪QP 1 ⎪=1 a ⎪P 1 P 2 ⎪=1 .
Podobně opět podle 3. předpokladu definice míry úseček platí, že
⎪QP 3 ⎪= ⎪QP 2 ⎪+⎪P 2 P 3 ⎪ = 2+1 = 3 ,
⎪QP 4 ⎪= ⎪QP 3 ⎪+⎪P 3 P 4 ⎪ = 3+1 = 4 atd. až podobně zjistíte, že
⎪QP 6 ⎪= 6 a ⎪QP 7 ⎪= 7 .
Protože bod R leží mezi body P 6 , P 7 , platí pro délku úsečky QR tyto
nerovnosti:
⎪QP 6 ⎪ ≤ ⎪QR⎪ ≤ ⎪QP 7 ⎪ čili 6 ≤ ⎪QR⎪ ≤ 7 .
Tím se nám podařilo přibližně vyjádřit délku úsečky QR .
Didaktická poznámka :
Až potud lze uvedený postup v patřičné didaktické úpravě použít, chceme-li žáky
1.st.ZŠ vést při objevování principu měření úseček a nechceme-li se spokojit
pouze s jejich „zaučením“, jak se měří úsečky pomocí měřítka.
Dokud žáci znají pouze přirozená čísla a neznají racionální čísla, rozhodnou o
přibližném vyjádření délky úsečky v uvedeném případě úsečky QR podle toho, ke
kterému z bodů P 6 , P 7 je bod R „blíže“: v našem případě je úsečka RP 6 menší
než úsečka RP 7 , bod R je tedy „blíže“ k bodu P 6 . Proto žáci zapíší výsledek
měření takto: ⎪QR⎪ = 6 (délka úsečky QR se přibližně rovná číslu 6).
Technická poznámka:
Zápis pomocí nerovností
6 ≤ ⎪QR⎪ ≤ 7 lze nahradit rovnocenným zápisem
⎪QR⎪ = 6,5 ± 0,5 .
Vzniká otázka, jak určit délku dané úsečky s větší přesností.
K tomu účelu rozdělíme úsečku, jejíž délka se v dané míře rovná číslu 1 (tzv.
jednotkovou úsečku) na určitý počet navzájem shodných dílů. Počet těchto dílů
není rozhodující, pro pochopení principu např. postačí, rozdělíme-li
naši jednotkovou úsečku na dva shodné díly:
K L Q P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 R P 7
S S 1
Střed úsečky KL jsme označili S .
(Další úvahy sledujte důsledně podle obrázku.)
Délka úsečky KS se zřejmě rovná jedné polovině, tj. ⎪KS⎪ = 0,5.
Zdůvodnění:
Jestliže ⎪KS⎪ = 0,5 , pak také ⎪SL⎪ = 0,5 a to podle 2. předpokladu
definice míry úseček, neboť KS≅SL (bod S je středem úsečky KL).
Úsečka KL je grafickým součtem úseček KS a SL , tj.platí, že
KS = KS + SL a proto (podle 3. předpokladu definice míry úseček) platí, že ⎪KL⎪
= ⎪KS⎪ + ⎪SL⎪ = 0,5 + 0,5 = 1 , což je v souhlase s tím, co je dáno, totiž že
⎪KL⎪ = 1 . Tím jsme ověřili, že ⎪KS⎪= 0,5 .
Protože S 1 je střed úsečky P 6 P 7 , platí, že ⎪P 6 S 1 ⎪= 0,5 a proto také platí, že
⎪Q S 1 ⎪= 6,5 .
Důsledkem toho, že bod R leží mezi body P 6 a S 1
je, že