Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

3 5
Podle 2. předpokladu definice míry úseček platí, že ⎪P 1 P 2 ⎪=1 , protože P 1 P 2
≅ AB a ⎪AB⎪ = 1 .
Jakou délku má úsečka CP 2 ?
Platí, že ⎪CP 2 ⎪ = 2 a to podle 3. předpokladu definice míry úseček.
Úsečka CP 2 je totiž grafickým součtem úseček CP 1 a P 1 P 2 (což stručně
zapisujeme CP 2 = CP 1 + P 1 P 2 ) a tedy podle 3. předpokladu délka grafického
součtu CP 1 + P 1 P 2 úseček CP 1 , P 1 P 2 se rovná součtu délek těchto úseček,
tj.
⎪CP 1 + P 1 P 2 ⎪ = ⎪CP 1 ⎪+⎪P 1 P 2 ⎪ a protože ⎪CP 1 ⎪=1 a ⎪P 1 P 2 ⎪=1 , tak
⎪CP 1 + P 1 P 2 ⎪ = 1+1 = 2 .
Obdobně pokračujte dále: přeneste úsečku AB na polopřímku ←P 2 C
(tj.na opačnou polopřímku k polopřímce →P 2 C ):
A B C P 1 P 2 P 3 =D
Tímto přenesením je úsečka P 2 P 3 . (V tomto daném případě náhodou splývá
bod P 3 s bodem D , v jiném případě tomu tak nemusí být).
Podobným způsobem jako v předcházejících krocích postupu ověříme, že
⎪P 2 P 3 ⎪=1 , protože P 2 P 3 ≅ AB a zjistíme, že nakonec platí:
⎪CD⎪ = ⎪CP 2 + P 2 P 3 ⎪ = ⎪CP 2 ⎪ + ⎪P 2 P 3 ⎪= 2 + 1 = 3 .
Máme tedy ověřeno, že ⎪CD⎪ = 3 (délka úsečky CD se rovná třem, čili
úsečka CD má délku tři ) .
Řešte podobnou úlohu:
Úloha :
Jsou dány úsečky KL, QR :
K L Q R
Určete délku úsečky QR, jestliže délka úsečky KL se rovná číslu 1.
Řešení:
Použijte obdobného postupu jako při řešení předcházející úlohy.
Několikerým nanesením úsečky KL získáte tento výsledek:
K L Q R
P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7
V textu této úlohy je dáno, že ⎪KL⎪=1. Tím je splněn 1. předpoklad z definice
míry úseček.
Podle 2. předpokladu definice míry úseček platí :
⎪QP 1 ⎪=1 , protože QP 1 ≅ KL ,
⎪P 1 P 2 ⎪=1, protože P 1 P 2 ≅ KL ,
⎪P 2 P 3 ⎪=1, protože P 2 P 3 ≅ KL
atd. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ až
⎪P 6 P 7 ⎪=1, protože P 6 P 7 ≅ KL .
Podle 3.předpokladu definice míry úseček platí, že