Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

3
Systematický rozvoj geometrických pojmů.
Axiomatická a deduktivní výstavba geometrie
( axiomy, definice, věty ) :
Při vytváření geometrického pojmového systému (podobně jako i při vytváření
pojmového systému jiné matematické teorie, např. Peanovy aritmetiky přirozených
čísel) se vychází z tzv. základních neboli axiomatických pojmů, které se zavádějí
vyslovením axiomů.
Axiomy dané teorie (tedy i geometrické axiomy) jsou výroky o pojmech této
teorie (v našem případě proto výroky o geometrických pojmech), které přijímáme
jako pravdivé a tedy je nedokazujeme.
Vhodným systémem axiomů jsou zavedeny tzv. základní čili axiomatické
pojmy dané teorie - tyto pojmy se tedy nedefinují.
Příklady axiomatických pojmů v geometrii (viz příloha: Axiomy eukleidovské geometrie) :
axiomatické pojmy zavedené pomocí
- axiomů incidence: bod, přímka, rovina, bod leží na přímce, bod leží v rovině,
- axiomů uspořádání: vztah „mezi“ pro body,
- axiomů shodnosti: shodnost úseček.
Další pojmy dané teorie (tj.všechny pojmy dané teorie kromě axiomatických pojmů)
jsou definovány, tj. jsou zaváděny definicemi - jsou to definované pojmy.
Uveďme hned příklady alespoň některých pojmů, které budeme v budovaném
pojmovém systému později definovat :
úsečka, polopřímka, opačná polopřímka, polorovina, opačná polorovina, poloprostor,
opačný poloprostor, konvexní úhel, nekonvexní úhel, trojúhelník, rovinný pás,
čtyřstěn atd., binární relace „menší“ pro úsečky, kružnice, kruh, kulová plocha, koule,
pravý úhel, binární relace rovnoběžnost, různoběžnost, mimoběžnost, kolmost
přímek, , atd., atd.
Pravdivost definic není třeba dokazovat.
Definice se formuluje ve dvou částech, uvádí se:
definovaný pojem - definiendum (nově zaváděný pojem) a
definující část - definiens (vše, co je v této části uvedeno, to znamená vše,
čeho se k definování nového pojmu využívá, musí být již předtím v daném
pojmovém systému zavedeno: ať již třeba pomocí axiomů nebo pomocí
předcházejících definic).
V axiomech jsou vysloveny některé „vlastnosti“ axiomatických pojmů
- např. v axiomech I 1 – I 7 , U 1 – U 4
(viz Axiomy incidence a Axiomy uspořádání v příloze Axiomy eukleidovské
geometrie)
nebo i „vlastnosti“ některých mezitím již definovaných pojmů:
- např. v axiomech S 1 – S 6 , A, C, R (viz Axiomy shodnosti, Axiomy spojitosti,
Axiom rovnoběžnosti v příloze Axiomy eukleidovské geometrie).
Další „vlastnosti“ pojmů matematické teorie se vyslovují v matematických
větách ( namísto matematická věta se stručně říká věta, poučka, teorém ).
Věty se dokazují pomocí matematické logiky na základě axiomů, definic a vět dříve
dokázaných.
Další poznatky - tj. nové pojmy a jejich vlastnosti - v naší budované teorii
odvozujeme neboli dedukujeme (latinsky deduco znamená odvádím nebo