Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

2 7
Topologické pojmy
Okolí bodu
Za okolí daného bodu v rovině (v prostoru E 2 ) budeme považovat
kterýkoliv kruh se středem v tom daném bodě a ještě upřesníme, že se bude
jednat o „kruh bez kružnice“ čili o útvar, kterému říkáme „vnitřek kruhu“.
Podle toho, jak známe definici kruhu (definici vnitřku kruhu), budeme
formulovat okolí daného bodu (označme tento bod např.A) v prostoru E 2
takto: {X∈E 2 : AX < δ }.
V uvedeném zápise δ je označení poloměru zmíněného kruhu, tedy
v podstatě označení úsečky.
(Znak δ je písmeno řecké abecedy, čteme je jej, jak známo „delta“).
Ke každému bodu v prostoru E 2 existuje mnoho různých okolí. Jsou to
kruhy (vnitřky kruhů) se společným středem a různými poloměry. Jedno určité
okolí daného bodu je tímto daným bodem a určitým poloměrem δ jednoznačně
dáno.
Zavádíme proto pojem δ-okolí bodu (čteme: „delta okolí bodu“).
Definici pojmu δ-okolí bodu A v prostoru E 2 tedy budeme formulovat takto:
δ-okolí bodu A v prostoru E 2 je {X∈E 2 : AX < δ },
kde δ je daná nenulová úsečka.
Pojem okolí bodu v prostoru E 2 (tj. v rovině) rozšiřme na pojem okolí bodu
v prostoru E 3 (tj. v prostoru). Zatímco v rovině se jednalo o „kruhová okolí“,
v prostoru půjde o „kulová okolí“:
Ke každému bodu existuje opět mnoho různých okolí. Jsou to koule
(vnitřky koulí) se společným středem a různými poloměry. Jedno určité okolí
daného bodu je tímto daným bodem a určitým poloměrem δ jednoznačně
dáno.
Za okolí daného bodu v prostoru (v prostoru E 3 ) budeme považovat
kteroukoliv kouli se středem v tom daném bodě a ještě upřesníme, že se bude
jednat o „kouli bez kulové plochy“ čili o útvar, kterému říkáme „vnitřek koule“.
Pojem δ-okolí bodu A v prostoru E 3 tedy budeme definovat takto:
δ-okolí bodu A v prostoru E 3 je {X∈E 3 : AX < δ },
kde δ je daná nenulová úsečka.
Obdobným způsobem lze definovat δ-okolí bodu A v prostoru E 1 :
δ-okolí bodu A v prostoru E 1 je {X∈E 1 : AX < δ },
kde δ je daná nenulová úsečka.
Vyšetřete, jakým útvarem je δ-okolí bodu A v prostoru E 1 .
(δ-okolí bodu A v prostoru E 1 je úsečka, jejímž středem je bod A a která je
shodná s grafickým součtem δ+δ .)