Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

2 6
2. Skládání osových souměrností s navzájem rovnoběžnými osami :
a) o 1 ⎪⎪ o 2 ∧ o 1 ≠ o 2
Proveďte uvedené skládání.
Postup konstrukce je podobný jako v případě různoběžných os, výsledek je však odlišný:
body A, A′, A′′ (B, B′, B′′ a také C, C′, C′′) leží tentokrát v přímce.
Složením obou souměrností vzniká zobrazení, v němž obrazem bodu A je bod
A′′, obrazem bodu B je bod B′′ a obrazem bodu C je bod C′′ .
Ihned nahlédneme, že toto výsledné zobrazení je shodnost, protože platí, že
A′′B′′ ≅ AB , B′′C′′ ≅ BC , A′′C′′ ≅ AC .
Toto zobrazení nazveme posunutí.
Uvedená zjištění nám umožní formulovat definici posunutí např. takto:
Posunutí je složení dvou osových souměrností, jejichž osy jsou navzájem
rovnoběžné a různé.
Pro každé dva body X, Y a jejich obrazy X′′,Y′′ v posunutí platí, že
XX′′ ≅ YY′′ .
Pro každý bod X platí, že XX′′se rovná dvojnásobku „vzdálenosti“ os o 1 ,o 2 .
b) o 1 = o 2
Při skládání osové souměrnosti se sebou samou se každý bod roviny „vrátí na
své původní místo“, to znamená, pro každý bod X platí, že X = X′′ . Jedná se tedy
o shodnost, v níž každý bod je samodružný. Toto shodné zobrazení se nazývá
identita.
Při dalším studiu shodných zobrazení lze prokázat, že každé shodné zobrazení
lze složit ze dvou nebo ze tří osových souměrností.
Závěrem ke shodným zobrazením uveďme :
Uvažme algebraickou strukturu, kterou tvoří množina všech shodností v rovině
vzhledem k binární operaci jejich skládání :
1. Skládání shodností je operace úplná (vždy proveditelná), protože složením
libovolných dvou shodností je opět shodnost.
Uvedená struktura je tedy grupoid.
2. Skládání shodností je operace asociativní (lze dokázat obecně, zkuste
alespoň ověřit na konkrétním případu).
Uvedená struktura je tedy pologrupa.
3. Existuje neutrální prvek (neutrálním prvkem je zde identita - ověřte).
4. Ke každé shodnosti existuje shodnost inverzní (lze najít ke každé
shodnosti takovou shodnost, aby jejich složením vznikla identita – zjistěte, co
je např. inverzním prvkem k osové souměrnosti, k otáčení, k posunutí).
Snadno lze zjistit, že skládání shodností není komutativní.
Výsledek uvedeného vyšetřování shrneme takto:
množina všech shodností v rovině vzhledem k jejich skládání
je nekomutativní grupa.