Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

1 0
Rovina
symbol ↔ABC čteme „rovina ABC“ nebo „rovina určená body A,B,C“
↔pK čteme „rovina pK“ nebo „rovina určená přímkou p a bodem K“
roviny zapisujeme též malými písmeny řecké abecedy ρ (ró), σ (sigma), ν (ný) ),…
rovina je axiomatický pojem (nedefinuje se, zavádí se pomocí axiomů - axiomaticky).
Konvexní úhel
Zakreslete konvexní úhel
AVB . Ověřte na obrázku, že konvexní úhel AVB je
průnikem dvou polorovin a zjistěte, které poloroviny to jsou. Výsledek: jsou to →AVB
a →BVA. Polorovina →AVB je určena přímkou ↔AV a bodem B, polorovina →BVA je
určena přímkou ↔BV a bodem A .
Definice konvexního úhlu tedy zní: Konvexní úhel AVB = →AVB ∩ →BVA .
Nekonvexní úhel
Zakreslete (šrafováním) opačnou polorovinu k polorovině AVB a opačnou polorovinu
k polorovině BVA. Zjistětete, co je sjednocením těchto dvou opačných polorovin.
Zajisté poznáte, že je to nekonvexní úhel AVB . Proto vám bude pochopitelná jeho
definice:
Definice nekonvexního úhlu: Nekonvexní úhel AVB = ←AVB ∪ ←BVA .
Trojúhelník
Zvolte nekolineární body A, B, C . Zakreslete (šrafováním) poloroviny →ABC, →BCA,
→CAB . Zjistěte, co je průnikem uvedených tří polorovin.
Snadno poznáte, že jejich průnikem je trojúhelník ABC.
„Trojúhelník ABC“ zapisujeme symbolem ∆ ABC .
Definice trojúhelníka : ∆ ABC = →ABC ∩ →BCA ∩ →CAB .
Čtyřstěn
Definice čtyřstěnu: Čtyřstěn ABCD = →ABCD ∩ →BCDA ∩ →CDAB ∩ →ABDC .
Čtyřstěn ABCD je průnikem uvedených čtyř poloprostorů.
Snažte se tuto situaci si představit, popřípadě znázornit „modelováním“ vyznačených
poloprostorů.
Rovinný pás
Definice rovinného pásu: Jsou dány přímky a, b tak, že a⏐⏐ b ∧ a≠b ,
dále jsou dány body A, B tak, že A∈a ∧ B∈b .
Rovinný pás určený přímkami a,b je →aB ∩ →bA .
Příklady dalších úloh, které je možno generovat z výše uvedených úloh :
Jsou dány nekolineární body K,L,M (body, které neleží v přímce). Zakreslete
a) {X∈E 2 : KX ∩ →LM = ∅ } , {X∈E 2 : KX ∩ →LM ≠ ∅ } ,
b) {X∈E 2 : KX ∩ ←LM = ∅ } , {X∈E 2 : KX ∩ ←LM ≠ ∅ } ,
c) {X∈E 2 : KX ∩ ↔LM = ∅ } , {X∈E 2 : KX ∩ ↔LM ≠ ∅ } ,
d) {X∈E 2 : →KX ∩ LM = ∅ } , {X∈E 2 : →KX ∩ LM ≠ ∅ } ,
e) {X∈E 2 : ←KX ∩ LM = ∅ } , {X∈E 2 : ←KX ∩ LM ≠ ∅ } ,
f) {X∈E 2 : ↔KX ∩ LM = ∅ } , {X∈E 2 : ↔KX ∩ LM ≠ ∅ } atd.
Je zřejmé, že z úlohy „Zakreslete {X∈E 2 : KX ∩ LM = ∅ }“ získáme další úlohy tím,
že v zadání
- nahradíme úsečku LM postupně těmito útvary: →LM, ←LM, ↔LM, →ML, ←ML
- nahradíme úsečku KX postupně těmito útvary: →KX, ←KX, ↔KX, →XK, ←XK
- symbol = nahradíme symbolem ≠