Základní aplikace určitého integrálu

Základní aplikace určitého integrálu
1 Geometrické aplikace určitého integrálu
1.1 Obsah rovinné plochy
Obsah P plochy omezené křivkou f ( x)
a < b
P
P
b
= f ( x)
dx
, jestliže v intervalu [ a, b]
je f ( x)
> 0
∫
a
b
= − f ( x)
dx
, jestliže v intervalu [ a, b]
je ( x)
< 0
∫
a
y = , osou x a přímkami x = a , x = b,
přičemž
f .
Obsah plochy při parametrickém vyjádření rovnicemi x ϕ(
t)
t2
() t () t dt
P = ∫ψ ⋅ & ϕ , kde ( t 1 ) = a
t1
1.2 Objem rotačního tělesa
ϕ , ( t ) = b
ϕ .
2
= , y = ψ () t
Objem tělesa, které vznikne rotací plochy P omezené křivkou y = f x , osou x a přímkami
x = a , x = b kolem osy x
b
∫
( f ( x)
)
V = π dx
a
Při rotaci kolem osy y
d
∫
2
2 ( ϕ ( y)
) y , kde x ϕ(
y)
V = π d
c
1.3 Délka oblouku rovinné křivky
Při explicitním tvaru rovnice křivky f ( x)
s =
x2
∫
x1
1+
2 ( f ′ ( x)
) dx
1.4 Obsah rotační plochy
( )
= vypočítáme z explicitní nebo implicitní rovnice.
y = platí
Při explicitním tvaru rovnice křivky f ( x)
b
S = 2π∫
f
a
2
( x)
⋅ 1+
( f ′ ( x)
) dx
Při explicitním tvaru rovnice křivky f ( x)
b
2 ( f ′ ( x)
) dx
S = 2π∫
x ⋅ 1+
.
a
y = a při rotaci kolem osy x platí
y = a při rotaci kolem osy y platí

2 Fyzikální aplikace určitého integrálu
2.1 Statický moment a těžiště plochy
Statický moment plochy omezené křivkou f ( x)
x = b vzhledem k ose x
M
x
=
2
b
1 2
∫
a
f
( x)
dx
Statický moment plochy omezené křivkou f ( x)
x = b vzhledem k ose y
M
y
b
∫ x f ⋅ =
a
( x)
dx
Souřadnice těžiště ( α, β )
⎛ M y M ⎞ x
T =
⎜ ,
⎟
⎝ P P ⎠
T = rovinné plochy
y = , y ≥ 0 , osou x a přímkami x = a ,
y = , y ≥ 0 , osou x a přímkami x = a ,
2.2 Statický moment a těžiště rotačních těles
Statický moment rotačních těles při rotaci kolem osy x vzhledem k rovině ρ ⊥ x
b
M π∫
x f ⋅ =
a
2
( x)
dx
Souřadnice těžiště, kde V je objem
⎛ M ⎞
T = ⎜ , 0⎟
⎝ V ⎠
2.3 Statický moment a těžiště oblouku křivky
Statický moment oblouku křivky vzhledem k ose x
M
M
x
b
= ∫ f
a
2
( x)
⋅ 1+
( f ′ ( x)
) dx
Statický moment oblouku křivky vzhledem k ose y
y
b
= ∫ x ⋅
a
1+
2 ( f ′ ( x)
) dx
Souřadnice těžiště, kde s je délka oblouku
⎛ M y M ⎞ x
T
=
⎜ ,
⎟
⎝ s s ⎠