You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Základní</strong> <strong>aplikace</strong> <strong>určitého</strong> <strong>integrálu</strong><br />
1 Geometrické <strong>aplikace</strong> <strong>určitého</strong> <strong>integrálu</strong><br />
1.1 Obsah rovinné plochy<br />
Obsah P plochy omezené křivkou f ( x)<br />
a < b<br />
P<br />
P<br />
b<br />
= f ( x)<br />
dx<br />
, jestliže v intervalu [ a, b]<br />
je f ( x)<br />
> 0<br />
∫<br />
a<br />
b<br />
= − f ( x)<br />
dx<br />
, jestliže v intervalu [ a, b]<br />
je ( x)<br />
< 0<br />
∫<br />
a<br />
y = , osou x a přímkami x = a , x = b,<br />
přičemž<br />
f .<br />
Obsah plochy při parametrickém vyjádření rovnicemi x ϕ(<br />
t)<br />
t2<br />
() t () t dt<br />
P = ∫ψ ⋅ & ϕ , kde ( t 1 ) = a<br />
t1<br />
1.2 Objem rotačního tělesa<br />
ϕ , ( t ) = b<br />
ϕ .<br />
2<br />
= , y = ψ () t<br />
Objem tělesa, které vznikne rotací plochy P omezené křivkou y = f x , osou x a přímkami<br />
x = a , x = b kolem osy x<br />
b<br />
∫<br />
( f ( x)<br />
)<br />
V = π dx<br />
a<br />
Při rotaci kolem osy y<br />
d<br />
∫<br />
2<br />
2 ( ϕ ( y)<br />
) y , kde x ϕ(<br />
y)<br />
V = π d<br />
c<br />
1.3 Délka oblouku rovinné křivky<br />
Při explicitním tvaru rovnice křivky f ( x)<br />
s =<br />
x2<br />
∫<br />
x1<br />
1+<br />
2 ( f ′ ( x)<br />
) dx<br />
1.4 Obsah rotační plochy<br />
( )<br />
= vypočítáme z explicitní nebo implicitní rovnice.<br />
y = platí<br />
Při explicitním tvaru rovnice křivky f ( x)<br />
b<br />
S = 2π∫<br />
f<br />
a<br />
2<br />
( x)<br />
⋅ 1+<br />
( f ′ ( x)<br />
) dx<br />
Při explicitním tvaru rovnice křivky f ( x)<br />
b<br />
2 ( f ′ ( x)<br />
) dx<br />
S = 2π∫<br />
x ⋅ 1+<br />
.<br />
a<br />
y = a při rotaci kolem osy x platí<br />
y = a při rotaci kolem osy y platí
2 Fyzikální <strong>aplikace</strong> <strong>určitého</strong> <strong>integrálu</strong><br />
2.1 Statický moment a těžiště plochy<br />
Statický moment plochy omezené křivkou f ( x)<br />
x = b vzhledem k ose x<br />
M<br />
x<br />
=<br />
2<br />
b<br />
1 2<br />
∫<br />
a<br />
f<br />
( x)<br />
dx<br />
Statický moment plochy omezené křivkou f ( x)<br />
x = b vzhledem k ose y<br />
M<br />
y<br />
b<br />
∫ x f ⋅ =<br />
a<br />
( x)<br />
dx<br />
Souřadnice těžiště ( α, β )<br />
⎛ M y M ⎞ x<br />
T =<br />
⎜ ,<br />
⎟<br />
⎝ P P ⎠<br />
T = rovinné plochy<br />
y = , y ≥ 0 , osou x a přímkami x = a ,<br />
y = , y ≥ 0 , osou x a přímkami x = a ,<br />
2.2 Statický moment a těžiště rotačních těles<br />
Statický moment rotačních těles při rotaci kolem osy x vzhledem k rovině ρ ⊥ x<br />
b<br />
M π∫<br />
x f ⋅ =<br />
a<br />
2<br />
( x)<br />
dx<br />
Souřadnice těžiště, kde V je objem<br />
⎛ M ⎞<br />
T = ⎜ , 0⎟<br />
⎝ V ⎠<br />
2.3 Statický moment a těžiště oblouku křivky<br />
Statický moment oblouku křivky vzhledem k ose x<br />
M<br />
M<br />
x<br />
b<br />
= ∫ f<br />
a<br />
2<br />
( x)<br />
⋅ 1+<br />
( f ′ ( x)<br />
) dx<br />
Statický moment oblouku křivky vzhledem k ose y<br />
y<br />
b<br />
= ∫ x ⋅<br />
a<br />
1+<br />
2 ( f ′ ( x)<br />
) dx<br />
Souřadnice těžiště, kde s je délka oblouku<br />
⎛ M y M ⎞ x<br />
T<br />
=<br />
⎜ ,<br />
⎟<br />
⎝ s s ⎠