1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční ...
1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční ... 1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční ...
Obrázky k příkladům 1 a 2 y y Df x ❞ Df x Df y Df 1 a 1 b 1 c 1 d y y y y Df 1 x Df ❞ Df x 1 x k = 1 x −1 y Df x 1 k = 1 ❅ ❅ ❅ ❅❅ 1 e y 1 f y 2 a y 2 b y ❅ k = 1 k < 1 k > 1 ❅ ❅ x k > 1 k < 1 ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ x ❅ k = 0 ❅ k = −1 ❅ ❅ ❅ ❅ ❞ ❅ ❅ ❅ ❅ x k > 3 2 c 2 d 2 e 2 f −1 1 x x k = 3 k > 3 Neřešené úlohy 1. Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená: a) f(x, y) = y x . [Df = {(x, y); x = 0}. Množina Df je otevřená. Hranicí je přímka {(x, y); x = 0}.] b) f(x, y) = √ x 2 + y 2 . [Df = R2 . Df je současně otevřená i uzavřená.] 1 c) f(x, y) = √x+ √ . y [Df = {(x, y); x+ √ y > 0, y ≥ 0}. Df není ani otevřená ani uzavřená.] d) f(x, y) = 1 1 x + y . [Df = {(x, y); x = 0 ∧ y = 0}. Df je otevřená.] e) f(x, y) = ln (x + y). [Df = {(x, y); x + y > 0}. Df je otevřená.] 2. Určete definiční obor Df, hladiny a obor hodnot Hf funkce: 6
a) f(x, y) = ln √ 1 x2 +y2 . [Df = {(x, y); (x, y) = (0, 0)}; Hf = R. Rovnice hladin x2 + y2 = e −2k , k ∈ R.] b) f(x, y) = 1 √ xy . [Df = {(x, y); xy > 0}; Hf = (0, ∞). Rovnice hladin xy = 1 k 2, k > 0.] c) f(x, y) = e −(x2 +y 2 ) . [Df = R 2 ; Hf = (0, 1〉. Rovnice hladin x 2 + y 2 = −ln k, 0 < k ≤ 1.] d) f(x, y) = 4x 2 + 9y 2 − 10. [Df = R 2 ; Hf = 〈−10, ∞). Rovnice hladin 4x 2 + 9y 2 = 10 + k, k ≥ −10.] e) f(x, y) = √ 1 − 9x 2 − 4y 2 . [Df = {(x, y); 9x 2 + 4y 2 ≤ 1}; Hf = 〈0, 1〉. Rovnice hladin jsou 9x 2 + 4y 2 = 1 − k 2 , 0 ≤ k ≤ 1.] f) f(x, y) = xy x+y . [Df = {(x, y); x + y = 0}; Hf = R. Rovnice hladin xy = k(x + y), x = y.] Obrázky k úlohám 1 a 2 y y ❅ Df Df ❅ Df x Df x ❞ y Df x Df Df ❞ y Df Df 1 a ∗ 1 b ∗ 1 c ∗ 1 d ∗ ❅ y ❅ Df ❅ x ❞ y k = 0 x ❞ y k = 1 x x y 0 < k < 1 k = • 1 1 e ∗ 2 a ∗ 2 b ∗ 2 c ∗ y k > −10 • k = −10 x • k = 1 2 d ∗ 2 e ∗ y k = 0 x 7 x
- Page 1 and 2: 2012- a3b2/1df.tex 1. Funkce dvou a
- Page 3 and 4: Protože mají rovnice řešení pr
- Page 5: jedné proměnné. Budeme počítat
Obrázky k příkladům 1 a 2<br />
y<br />
y<br />
Df<br />
x<br />
❞<br />
Df<br />
x<br />
<br />
Df<br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
Df<br />
1 a 1 b 1 c 1 d<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
Df<br />
1<br />
x<br />
<br />
Df<br />
<br />
❞<br />
<br />
<br />
Df<br />
<br />
x<br />
1<br />
x<br />
k = 1<br />
x<br />
−1<br />
y<br />
Df<br />
x<br />
1<br />
k = 1<br />
<br />
❅<br />
❅<br />
<br />
❅<br />
❅❅<br />
<br />
1 e<br />
y<br />
1 f<br />
y<br />
2 a<br />
y<br />
2 b<br />
y<br />
❅ k = 1<br />
<br />
k < 1 k > 1 ❅<br />
❅<br />
x<br />
k > 1 k < 1<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅ ❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
x<br />
❅<br />
k = 0 ❅<br />
k = −1<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
❅<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
❞ <br />
<br />
❅<br />
❅ ❅<br />
❅<br />
x<br />
k > 3<br />
2 c 2 d 2 e 2 f<br />
−1<br />
1<br />
x<br />
x<br />
k = 3<br />
k > 3<br />
Neřešené úlohy<br />
<strong>1.</strong> Určete definiční obor Df funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2<br />
vzhledem k Df a rozhodněte zda je množina Df uzavřená či otevřená:<br />
a) f(x, y) = y<br />
x .<br />
[Df = {(x, y); x = 0}. Množina Df je otevřená. Hranicí je přímka<br />
{(x, y); x = 0}.]<br />
b) f(x, y) = √ x 2 + y 2 .<br />
[Df = R2 . Df je současně otevřená i uzavřená.]<br />
1<br />
c) f(x, y) = √x+ √ .<br />
y<br />
[Df = {(x, y); x+ √ y > 0, y ≥ 0}. Df není ani otevřená ani uzavřená.]<br />
d) f(x, y) = 1 1<br />
x + y .<br />
[Df = {(x, y); x = 0 ∧ y = 0}. Df je otevřená.]<br />
e) f(x, y) = ln (x + y).<br />
[Df = {(x, y); x + y > 0}. Df je otevřená.]<br />
2. Určete definiční obor Df, hladiny a obor hodnot Hf funkce:<br />
6
Change language