1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční ...

a) lim
(x,y)→(1,−2) x2 y;
Řešení: Funkce f(x, y) = x 2 y je definována a spojitá v R 2 . jejílimita je
tedy rovna funkční hodnotě a tudíž
b) lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(1,−2) x2 y = f(1, −2) = 1 2 . (−2) = −2.
xy
√ xy + 1 − 1 ;
Řešení: Daná funkce je definovaná pro (x, y) ∈ R 2 , pro která platí
xy ≥ −1 ∧ xy = 0.
Definičním oborem je část roviny mezi hyperbolami xy = −1, ze které jsou
vynechány osy. Na této množině je funkce spojitá a bod (0, 0) je hromadným
bodem definičního oboru. Pro limitu v tomto bodě dostaneme
lim
(x,y)→(0,0)
xy
√ xy + 1 − 1 =
= lim
(x,y)→(0,0)
c) lim
(x,y)→(0,2)
0
0
= lim
(x,y)→(0,0)
xy ( √ xy + 1 + 1)
xy + 1 − 1
sin (xy)
;
x
xy ( √ xy + 1 + 1)
( √ xy + 1 − 1)( √ xy + 1 + 1) =
= lim
(x,y)→(0,0) (xy
+ 1 + 1) = 2.
Řešení: Daná funkce je spojitá na svém definičním oboru, Df = {(x, y);
x = 0}, což je rovina s vynechanou osou y. Bod (0, 2) je tedy hromadným
bodem definičního oboru a pro limitu v tomto bodě dostaneme
lim
(x,y)→(0,2)
= ( lim
(x,y)→(0,2)
sin (xy)
x
=
0
0
y) ( lim
(x,y)→(0,2)
= lim
(x,y)→(0,2)
y sin (xy)
xy =
sin (xy)
) = 2 . 1 = 2.
xy
Při výpočtu jsme použili větu o limitě součinu a známé limity funkce sinus.
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x 2 + y 2;
Řešení: Funkce je definována a spojitá v R 2 − {(0, 0)}. Bod (0, 0) je
hromadným bodem definičního oboru a tedy můžeme limitu počítat. Po
dosazení dostaneme neurčitý výraz. K výpočtu použijeme metod funkce
4