1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční ...

a
−x + y ≥ x + y ≥ x − y ∧ x < y ⇒ x ≤ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x < y.
Tedy Df = {(x, y); (x, y) = (0, 0), ((x ≥ 0 ∧ y ≤ 0) ∪ (x ≤ 0 ∧ y ≥ 0))}.
Vnitřní body jsou body množiny
{(x, y); (x > 0 ∩ y < 0) ∪ (x < 0 ∩ y > 0)}. Hraniční body jsou body
přímek {(x, y); x = 0 ∨ y = 0}. Množina Df není tedy ani otevřená ani
uzavřená.
2. Určete definiční obor Df, vrstenice grafu a obor hodnot Hf funkce:
a) f(x, y) = x 2 + y 2 .
Řešení: Je Df = R 2 a funkce f nabývá pouze nezáporných hodnot. Pro
její hladiny dostaneme podmínku:
x 2 + y 2 = k, k ≥ 0.
Hladinou je tedy kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem
r = √ k, která pro k = 0 splývá s počátkem. Je tedy Hf = 〈0, ∞) a funkce
f má v bodě (0, 0) minimum f(0, 0) = 0.
b) f(x, y) = |x| + |y|.
Řešení: Je Df = R 2 a funkce nabývá nezáporných hodnot. Pro hladiny
dostaneme rovnice
|x| + |y| = k, k ≥ 0.
Z vyjádření vyplývá, že hladina je množina souměrná vzhledem k osám x a
y, tedy i vzhledem k počátku. Stačí najít řešení v jednom kvadrantu, např.
pro x ≥ 0, y ≥ 0. Podmínce vyhovují body úsečky, která je částí přímky
x+y = k. Hladinou je tudíž čtverec s vrcholy v bodech (k, 0), (0, k), (−k, 0)
a (0, −k). Pro k = 0 dostaneme bod (0, 0). Obor hodnot funkce f je Hf =
〈0, ∞).
c) f(x, y) = e −xy .
Řešení: Funkce je definována v celem R 2 . Protože je exponenciální
funkce kladná, dostaneme pro hladiny rovnice
tedy
e −xy = k, k > 0 ⇒ −xy = ln k
y = −
ln k
, k = 1 a xy = 0, k = 1.
x
2