Grafy

Kořenovéstromysloužíjakomodelyvmnohasituacích.Nejběžněšjšíjsounapř.strukturaorganizace,kdevrcholoznačujepozicivdanéorganizaciahranypaknadřízenostči
podřízenosttěchtopozic.Jinýpříkladjeuspořádánísouborůvpamětipočítače.Kořen
odpovídáhlavnímuadresáři,vrcholypodadresářůmalistyjednotlivýmsouborům.
Definice.Kořenovýstromsenazývá n-ární,jestližekaždývrcholmánejvýše nnásledovníků.Má-likaždývrchol,kterýnenílist,přesně
nnásledovníků,nazývámetakovýstrom
plně n-ární.
Mezipočtemvrcholůapočtemlistůplně n-árníhostromujejednoduchývztah.
Věta7.Plně n-árnístromsllistymá(nl −1)/(n −1)vrcholů.
Důkaz. Označmesipočetvrcholů v.Každývrchol,kterýnenílistmá nnásledníků.Počet
takovýchnásledníkůjetím n(v−l).Zbývápřidatvrchol,kterýnenínásledník,atojekořen.
Tímdostávámecelkovýpočetvrcholů v= n(v − l)+1.Odtudjižplynetvrzení.
Příklad.Jistýčlověkpošle5lidemdopisžádajícíje,abyhookopírovaliaposlalidalším5.
Někteřítoučiní,jiníhohodídokoše.
(i) Koliklidídostalotakovýdopis,víme-li,žecelýřetězskončilpoté,co73lidíhodilo
dopisdokošeapředpokládáme-li,ženikdonedostaltakovýdopisdvakrát.
(ii) Jestliže10000lidíposlalodopisběhemtrváníceléhoposílacíhořetězce,koliklidí
obdrželodopisakoliksejichrozhodlodopisydáleneposílat?(Stálepředpokládáme,
ženikdonedostalvícenežjedendopis.)
(i)Situacimodelujemepomocí5-árníhostromu,okterémvíme,žemá73listů.Podle
Věty7jepočetvrcholů91.Odečteme-liprvníhočlověka,pakmáme,žedopisdostalo90
lidí.
(ii)Početlidí,kteříobdrželidopisjepočetvrcholůpříslušného5-árníhostromubez
kořene.Vztahmezipočtemvrcholů valistů lje
v= n(v − l)+1.
9