Grafy

8
postupuzucesty P1a P2rozejdou,tj.existujíhrany e1ae2vycházejícízw, e1 = e2a
e1 ∈ P1a e2 ∈ P2.Pakvynechánímhrany e1zgrafu Gneporušímejehosouvislost.
(iii) ⇒(iv)Jezřejmé,žegrafmajícívlastnost(iii)nemůžeobsahovatkružnici,neboť
libovolnédvavrcholyležícínatétokružnicibybylomožnéspojitdvěmarůznýmizpůsoby.
Zbývásiuvědomit,žepřidánímjakékolihranydografu Gkružnicevznikne.Přidejmetedy
do Gnovouhranu e=uvspojujícívrcholy uav.Protože Gmávlastnost(iii),musíbýt
souvislý,atedyvrcholy u,vbylyvpůvodnímgrafuspojenycestou P.Dodáme-likPještě
novouhranu e,vzniknekružnice.
(iv) ⇒(i)Ografu Gvíme,žejeacyklický,stačítedydokázatjehosouvislost.Kdyby
uavpatřilydorůznýchkomponentgrafu G,pakpřidánímhrany uvnemůževzniknout
kružnice.Proto Gjesouvislý.
Kpředchozívětěpřidámeještějednuvlastnoststromu,kterájesicesnadnoodvoditelná,nicméněpatříkvelmidůležitým.
Věta5.Každýstromsalespoňdvěmavrcholymáalespoňdvavrcholysestupněmjedna.
Důkaz. Uvažujmevestromucestu P maximálnídélky.Pakjejíkoncovévrcholyjsou
právěhledanévrcholystupnějedna.Ktomusistačíuvědomit,žekdybynapř.koncový
vrcholmělstupeňvícnežjedna,pakmusíexistovathrana e /∈ P,jejímžpřidánímkP
bychomdostalicestudelšínebobyvzniklakružnice.Anijednovšaknenímožné.
Nakonecsipoložmeotázku,kolikmástromhran?Jakoukaždéhosouvisléhografu,
počethranzávisísamozřejměnapočtuvrcholů,vizVětu2,anadalšíchvlastnostechgrafu.
Ustromu,poněkudpřekvapivě,počethranzávisípouzenapočtuvrcholů.
Věta6.Každýstromsnvrcholymá n −1hran.
Důkaz. Důkazprovedemeindukcípodlepočtuvrcholů.Má-listrompouzejedenvrchol,
paknemůžemítžádnouhranu,neboťjedináhranapřicházejícívúvahujesmyčka,ataby
vytvořilakružnici.
Předpokládejme,žetvrzeníplatíprostromysnvrcholyamějmestrom Gsn+1
vrcholy.PodleVěty5existujevrchol u,jehožstupeňjejedna.Odebránímvrcholu uspolu
shranou,kterédonějvede,dostanemeopětsouvislýgrafbezkružnice,tj.strom.Protože
má nvrcholů,podleindukčníhopředpokladuma n −1hran.Odtudplyne,žepůvodní
strom Gmá nhranadůkazjeuzavřen.
Definice.Kořenovýstromjestrom,ukteréhojejedenvrcholoznačenjakokořen.
Tím,žeoznačímejedenvrcholzakořen,zavádímeautomatickydostromunásledující
uspořádánímezivrcholy.ProtožepodleVěty4(iii)vedezkořenedojakéhokolivrcholu
právějedinácesta,mámemezivrcholynatétocestězavedenypojmynásledník vrcholu
apředchůdcevrcholu.Obvyklepakkreslímekořenovéstromytak,žekořenumístímenahoruahranysměřujíodnějdolů.Vrchol,kterýnemánásledníkasenazýválist.Jetřeba
podotknout,žerůznýmivolbamikořenevznikajírůznékořenovéstromy,vizobrázek.