Grafy
Grafy
Grafy
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Předpokládejmenyní,žesouvislýgrafmákromědvouvrcholů u,vvšechnyostatní<br />
vrcholysudéhostupně.Přidámekegrafunavíchranu e=uv.Tentonovýgrafmávšechny<br />
vrcholysudéhostupněapodledokázanépředchozíčástivněmexistujeuzavřenýeulerovský<br />
tah W.Odebereme-liod Wumělepřidanouhranu e,dostanemeeulerovskýtahvpůvodním<br />
grafu. <br />
Stromy<br />
Definice.Grafneobsahujícíkružnicesenazýváacyklický.Stromjesouvislýacyklickýgraf.<br />
Příkladystromůjsounanásledujícímobrázku.<br />
Běžnýpříkladstromujetzv.genealogickýstrom,kterýzachycujeposloupnostarozvětvováníčlenůrodinyodzakladatelekpotomkům.<br />
Můžemesipovšimnout,žegraf G,kterýjeacyklickýanenísouvislý,mázakomponenty<br />
souvislostistromy.Plynetoztoho,žekomponentajakopodgrafacyklickéhografunemůže<br />
obsahovatkružnici(atedyjeacyklická)apřitomjesouvislá.Takovýgrafseněkdynazývá<br />
les.<br />
Stromlzeekvivalentěpopsatijinýmivlastnostmi,kteréjsouoněconázornější.<br />
Věta4.Mějmegraf G=(V,E).Paknásledujícítvrzeníjsouekvivalentní.<br />
(i) Gjestrom.<br />
(ii) Gjeminimálnísouvislý,tj. Gjesouvislýavynechánímjakékolihranyvzniknenesouvislýgraf.<br />
(iii) Mezikaždýmidvěmavrcholyexistujejedinácesta,kterájespojuje.<br />
(iv) Gjemaximálníacyklický,tj. Gjeacyklickýapřidánímjakékolinovéhranyvznikne<br />
kružnice.<br />
Důkaz. (i) ⇒(ii)Protožestromjezdefinicesouvislýgraf,kověření(ii)zbýváukázat,<br />
žeodebránímjakékolihranyvzniknenesouvislýgraf.Odebermehranu e=uvzgrafu G.<br />
Kdybyzůstalsouvislý,pakvněmexistujecesta P spojujícívrcholy uav.Tatocestas<br />
přidanouhranou ebyvpůvodnímgrafu Gvytvořilakružnici,cožnelze.<br />
(ii) ⇒(iii)Předpokládejme,žegrafmávlastnost(ii),apřestovněmexistujívrcholy<br />
uavspojenédvěmarůznýmicestami P1a P2.Označme wprvnívrchol,vekterémsepři<br />
7
Change language