Grafy

6
Schématickypomocígrafujsoumostnípropojenínásledovná:
Řešenítétohádankyjeobsaženovnásledujícívětě.
Věta3.Souvislýgrafjeeulerovskýprávě,kdyžvšechnyvrcholymajísudýstupeňsjedinou
možnouvýjimkoudvouvrcholů.
Důkaz. Mějmegraf,vekterémexistujetah obsahujícívšechnyhrany.Je-litento tah
uzavřený,tj.začíná-liakončívestejnémvrcholu,pakpřikaždémprůchodujakýmkoli
vrcholemjednouhranouvstupujemeadruhouvystupujeme.Stupeňtakovéhovrcholuje
tedysudý.Má-litahzačátekakonecvrůznýchvrcholech,paktojsouprávětyjediné
vrcholymajícílichýstupeň.
Důkaz opačnéimplikace provedemenejprvepropřípadsouvisléhografu,kterýmá
všechnyvrcholysudéhostupně.Vezmemesivtomtografutah
W=(v0,e1,v1,... ,ek,vk)
maximální možné délky. Protože tah W již nelze prodloužit, musíobsahovat všechny
hranyvycházejícízvrcholu vk.Kdybytah W nebyluzavřený,tj.kdyby v0 = vk,pak
stupeňvrcholu vkbybyllichýdíkyposlednímukrokuvtahu W.Protoževšechnystupně
jsousudé,dostáváme,žetah Wjenutněuzavřený.Zbývásiuvědomitposlednívěc,že W
jeeulerovský,tj.obsahujevšechnyhranygrafu.Vopačnémpřípaděbyexistovalahrana e,
kteránenáležítahu W,alepřitomvycházíznějakéhovrcholu viležícímuna W.Nazvěme
ji e=uvi.Pakovšemtah
jeojedenkrokdelšínež W,cožjespor.
(u,e,vi,ei+1,vi+1,... ,ek,vk= v0,e1,... ,ei,vi)