Grafy

(2) Předpokládejme,ženerovnostplatíprografy,jejichžpočethranje kachcemetuto
nerovnostdokázatprografys|E|=k+1.Mějmesouvislýgrafsk+1hranami.
Uvážímedvapřípady:
(a) Grafobsahujekružnici.Uberemezgrafu Ghranu,kterábylasoučástíkružnice.
Vzniklýgrafjeopětsouvislý,mástejnýpočetvrcholů,alejen khran.Podle
indukčníhopředpokladuje
|V | −1 ≤ k=|E| −1 ≤ |E|.
(b)Grafneobsahujekružnici.Označmesi P nejdelšícestuvgrafu Ganechť uje
počátečnívrcholcesty P.Pakstupeňvrcholu umusíbýt1:vopačnémpřípadě
byexistovalahrana e=uv /∈ P ajejímpřidánímbychomvytvořilibuďcestu
delšínež P(pokud v /∈ P)nebokružnici(pokud v ∈ P).Odstraněnímvrcholu
uspolushranou,kterádonějvede,vznikneopětsouvislýgrafs|V |−1vrcholy
askhranami.Podleindukčníhopředpokladupronějplatí
(|V | −1) −1 ≤ k= |E| −1, tj. |E| ≥ |V | −1.
(ii)Předpokládejme,žepočethranje |E| > |V |−1
2 ,apřestografnenísouvislý,tj.
existujíalespoňdvěkomponentysouvislosti.Označmesi V1vrcholyjednézkomponent
sovislostiaV2= V \ V1.PakžádnáhrananespojujevrcholyzV1svrcholyzV2.Je-li
|V1|=ka |V2|=|V | − k,kde1 ≤ k ≤ |V | −1,pakpodleVěty1(ii)platí,že
|E| ≤
k
+
2
|V | − k
= k
2
2 − k|V |+
|V |(|V | −1)
.
2
Poslednívýrazjekvadratickývkanabývásvéhomaximavkrajníchbodechintervalu
1 ≤ k ≤ |V | −1.Pro k=1ipro k=|V | −1mástejnouhodnotuato |V |−1
2 .Tím
,cožjespor.
dostávámeodhad |E| ≤ |V |−1
2
Eulerovskégrafy.
Definice.Grafnazvemeeulerovský,jestliževněmexistujetahobsahujícívšechnyhrany.
Takovýtahněkdyoznačujemejakoeulerovskýtah.
Eulerovskýgrafsimůžemeintuitivněpředstavitjakograf,kterýlzenakreslitjedním
tahem,anižbychomnějakouhranoumuseliprojítvícekrát.
EulerovskýgrafjenazvánpoL.Eulerovi,kterývroce1736charakterizoval právě
takovégrafy.KtétootázcehopřivedlahádankaosedmimostechvměstěKönigsberg
(vizobrázekníže),kdeseměšťanéKönigsbergusnažilizjistit,zdajemožnésinaplánovat
procházkupovšechmostechtak,abyprošlivšechnymostyprávějednou.Situacejena
obrázkuníže.
5