Grafy

4
Druhýpodgrafjevelmispeciálníneboťtvoříjakousicestupřísušnýmgrafemodjednoho
vrcholukedruhému.Dvadruhytakovýchpodgrafůsioznačímejménem.
Definice. Cesta P vgrafu G=(V,E)jeposloupnoststřídavěseskládajícízvrcholůa
hran,
P=(v0,e1,v1,e2,... ,ek,vk),
kde ei= vi−1vijsouhranya{v0,v1,... ,vk} ⊂ V jsounavzájemrůznévrcholy.Přidáme-li
k P navíchranu vkv0,vznikneuzavřenácestanazývanákružnicenebotakécyklus.
Tah Wvgrafu Gjeposloupnoststřídavěseskládajícízvrcholůahran,
kde ei= vi−1vijsounavzájemrůznéhrany.
W=(v0,e1,v1,e2,...,ek,vk),
Protožecestavgrafuprocházínavzájemrůznýmivrcholy,nemůžepoužítžádnouhranu
dvakrát.Každácestajetedyitah.
Pomocípojmucestavgrafumůžemezavéstjinoudůležitoucharakteristiku,atoje
souvislostgrafu.
Definice.Graf Gjesouvislý,jestližeprokaždédvavrcholyexistujecestavG,kteráje
spojuje.Každýmaximálnísouvislýpodgrafgrafu Gsenazývákomponentasouvislosti.
Naobrázkujepříkladsouvisléhoanesouvisléhografu.Nesouvislýgrafmátřikomponentysouvislosti.
Abygrafbylsouvislý,musímít“dostatečný” počethran.Položme siotázku,jaký
jevztahmezisouvislostígrafuapočtemjehohran.Jsoudvěmožnévarianty.Je-ligraf
souvislý,kolik musímítnutněhran?Anaopak,jakýpočethrangrafusivynutíjeho
souvislost?OdpovědijsouvnásledujícíVětě2.
Věta2.Mějmegraf G=(V,E).Pakplatí
(i) Je-li Gsouvislý,pak |E| ≥ |V | −1.
(ii) Je-li Gjednoduchýamá-livícenež |V |−1
2
hran,jesouvislý.
Důkaz. (i)Důkazprovedemematematickouindukcípodlepočtuhran.
(1) Je-li |E|=1,paksouvislýgrafojednéhranězřejměnemůžemítvíceneždvavrcholy.
Tedy |V | ≤2=|E|+1,tj. |E| ≥ |V | −1.