Grafy

Věta1.Mějmegraf G=(V,E).
(i) Součetstupňůvšechvrchlůgrafujerovendvojnásobkupočtuhran,tj.
d(v)=2|E|.
v∈V
(ii) Je-li Gjednoduchýa|V |=n,pak |E| ≤ n
2
arovnostnastáváprávě,když G=Kn.
Důkaz. (i)Sčítáme-listupněvšechvrcholůgrafu,počítámevlastně,kolikjekoncůhran.
Každáhranamádvakonce,protopočetkoncůvšechhranjedvojnásobekpočtuhran.
(ii)Protožehranajeurčenadvojicírůznýchvrchlů,jepočethranomezenpočtem
.
dvouprvkovýchpodmnožinvybranýchzmnožiny V,cožje n
2
Nynísevrátímekpříkladuoúčastnícíchparty.VzájemnépředstavovánímámeznázorněnopomocígrafuapronějplatítvrzeníVěty1(i).Vnašempřípaděmásumalichýpočet
sčítanců,alehodnotasoučtujezřejměsudá.Protonemohoubýtvšechnyčlenysumyliché.
Odtudvyplývá,žealespoňjedensčítanecjesudý,atedyvgrafuexistujevrcholsesudým
stupněm.Atentovrcholreprezentujehledanéhoúčastníkaparty,kterýbylpředstaven
sudémupočtuúčastníků.
Definice. Graf G ′ =(V ′ ,E ′ )nazývámepodgraf grafu G=(V,E),jestliže V ′ ⊂ V a
E ′ ⊂ E.Zapisujeme G ′ ⊂ G.
Příkladypodgrafůjsounanásledujícímobrázku.
3