Grafy

16
(16) Dvahráčihrajínasouvislémgrafu G=(V,E)hruspočívajícívestřídavémvybírání
různýchvrcholů u1,u2,... tak,ženáslednývrchol ui+1musíbýtspojenhranous
předchozím ui.Poslední,kdomůžetakovýtahučinit,vyhrává.Ukažte,žeprvníhráč
mávyhrávajícístrategiiprávě,kdyžvgrafu Gneexistujepárováníobsahujícívšechny
vrcholy(tzv.perfektnípárování).
(17) Ukažte,žekaždýgrafošestivrcholechobsahujebuď K3nebo K c 3 .
Řešení.
(1a),(1b),(1c)Navšechnyotázkyjeodpověďnegativní.
(2)Není-li Gsouvislý,pakkaždývrcholvkaždézjehokomponentjevG cspojenhranou sevšemivrcholyvostatníchkomponentách.
(3)Kdybygrafznázorňujícíspojenímeziobceminebylsouvislý,pakkaždájehokomponentamánutněalespoň
n+1vrcholů,cožnelze.
(5)Můžemepředpokládat,žegraf Gjesouvislý,jinakprovedemenásledujícíúvahyvkaždé
komponentěsouvislosti.Je-ligrafbipartitnísmnožinouvrcholů A ∪B,pakpřiprocházení
kružnicísenanístřídajívrcholyzAavrcholyzB.Přinavrácenísedovýchozíhobodu
jsmetaknutněmuseliprojítsudýpočethran.Obráceně,máme-lisouvislýgraf,kdese
každákružniceskládázesudéhopočetuhran,rozdělímemnožinuvrcholů V načásti Aa
Bnásledovně.Nechť Tjekostragrafu Gav∈Tlibovolný.Tentovrcholdámedomnožiny
A.Ostatnívrcholydámedomnožiny Anebo Bpodletoho,jestlisekněmudostanemez
vrcholu vcestouvTmajícísudýnebolichýpočethran.
(6)Párovánítvoříhrany,kteréspojujívrcholylišícíseprávěvprvnísouřadnici.
(7)Protožehranajeurčenadvojicívrcholů,vybírámedvojicevrcholůvK2n.Prvnídvojici
vybereme 2n 2n−2
2 způsoby,druhou 2 způsobyatd.Protoženezáležínapořadí,vjakém
hranyvybíráme,výsledekdělíme n!,cožpoúpravědá(2n)!/(2 nn!). (8)Jediné,má-lisudýpočetvrcholůažádné,má-lilichýpočetvrcholů.
(9)Např.graf G=(A ∪ B,E),kde A={0,1,2,... }, B= {1,2,... }ahranyjsou
E= {k,k} k ≥1 ∪ {0,k} k ≥1 .
(10) |V1|=26, |V2|=25.
(11)Součetstupňůjerovendvojnásobkupočtuhran,grafmátedy n −1hran.Jedna
implikaceplynezVěty6adruházfaktu,žegrafsn −1hranamijepodleVěty2(i)
minimálnísouvislý.Nynípoužijemecharakterizacistromu,Větu4(ii).
(12)Mějme P=(u0 ...un)aP ′ =(u ′ 0 ... u′ n)dvěmaximálnícestyapředpokládejme,že
P ∩ P ′ = ∅.Existujecesta Q=(u0 ...u...u ′ ...u ′ n)spojující u0a u ′ n,kde ujeposlední
vrcholna Qpatřícído P a u ′ jeprvnívrcholna Qležícíza uapatřícído P ′ .Jednaz
částí(u0 ... u)a(u...un)cesty P jedlouháalespoňjakopolovina P apodobnějednaz
částí(u ′ 0 ...u′ )a(u ′ ...u ′ n)cesty P ′ jedlouháalespoňjakopolovina P ′ .Spojenímtěchto
delšíchčástípomocíúseku(u... u ′ )cesty Qbyvznikladelšícestanežmaximální.
(13)Jetohrana,jejížodstraněnímsegrafrozpadnenadvěkomponenty.
(14)Zvoltekostruvgrafu GapoužijteVětu5.
(15a)Zvolímehranu ab.Poodebránívrcholů aabzgrafu Gbudezbylýpodgrafsplňovat
podmínku(*).