Grafy

(3) Silničnísíťdanéhookresuspojuje2nobcítak,žezkaždéobcevede nsilnicdo n
sousedníchobcí.Existujesilničníspojenízlibovolnéobcedolibovolnéobce?
(4) Mají-lihranyvsouvislémgrafunavzájemrůznéohodnocení,pakexistujejediná
minimálníkostra.
(5) Ukažte,žegrafjebipartitníprávě,kdyžneosahujekružnicilichédélky.
(6) k-rozměrnákrychlemápárováníobsahujícívšechnyvrcholy, k ≥1.
(7) Kolikpárováníobsahujícívšechnyvrcholymá K2n?
(8) Kolikpárováníobsahujícívšechnyvrcholymástrom?
(9) Naleznětenekonečnýbipartitnígraf,vekterémjesplněnapodmínka(*)zVěty9,a
přestoneexistujeúplnépárování.
(10) Mějmestrom To50hranách.Odstraněnímjednéhranysestrom Trozpadnenadva
stromy T1a T2,okterýchplatí,žepočethranvT1serovnápočtuvrcholůvT2.
Určetepočtyvrcholůpro T1a T2.
(11) Ukažte,žesouvislýgrafsnvrcholyjestromprávě,kdyžsoučetstupňůvšechvrcholů
je2(n −1).
(12) Vsouvislémgrafumajíjakékolidvěcestymaximálnídélkyspolečnývrchol.
(13) Předpokládejme,žejistáhranasouvisléhografupatřídokaždékostrytohotografu.
Colzeotétohraněříci?
(14) Uvažujmesouvislýgraf Goalespoňdvouvrcholech.Ukažte,ževGexisujídva
vrcholytakové,žeodstraněnímjednohonebodruhéhozůstanegrafsouvislý.
(15) Mějmebipartitnígraf G=(V,E), V = A ∪ B,kterýmáúplnépárovánízAdo B,
tj.platípodmínka(*)zVěty9.
(a) Platí-lidokonce |N(S)| ≥ |S|+1prokaždouvlastnípodmnožinu S ⊂ A,pak
všechnyvrcholy a ∈ Amajívlastnost,žeprokaždouhranu abnaleznemevG
úplnépárovánízAdo Bobsahujícíhranu ab.
(b)Je-li S ⊂ Aminimálnímnožina,prokterouplatí |N(S)|=|S|,pakkaždývrchol
a ∈ Smávlastnost,žeprokaždouhranu abnaleznemevGúplnépárovánízA
do Bobsahujícíhranu ab.
(c) Ukažte,ževgrafu Gexistujevrchol a ∈ A,žeprokaždouhranu abnalezneme
v GúplnépárovánízAdo Bobsahujícíhranu ab.
(d)Je-listupeň d(a)=dprovšechnyvrcholy a ∈ A,pakvGexisujealespoň N
úplnýchpárování,kde
d! pro d ≤ |A|,
N=
d(d −1) · · ·(d − |A|+1) pro d > |A|.
15