Grafy

14
Věta11.(Ramsey)Prokaždé n ∈ Nexistuje N ∈ N,žejakýkoliúplnýgrafsalespoň N
vrcholy,jehožhranyjsoulibovolněobarvenydvěmarůznýmibarvami,obsahujejednobarevný
Knjakopodgraf.
Důkaz. Tvrzeníjetriviálnípro n=1,protouvažujme n ≥2.Hledanéčíslo Npoložíme
N=2 2n−3
aukážeme,ževkaždémúplnémgrafusalespoň N vrcholynajdeme Knjehožvšechny
hranymajístejnoubarvu.Barvy,kterébudemepoužívat,jsounapř.bíláamodrá.
Zvolmesijakoukolipodmnožinu V1 ⊂ V mající Nprvků, |V1|=N,alibovolnývrchol
v1 ∈ V1.Uvažujmeteďhrany,kteréspojují v1sostatnímivrcholyve V1.Protožemnožina
V1 \ v1málichýpočetprvků,buďbílýchhranjealespoňpolovinacelkovéhopočtuuvažovanýchhrannebomodrýchhranjealespoňpolovinacelkovéhopočtu,tj.jejichalespoň
2 2n−4 .Ztěchhran,kterýchjevětšinasijichvyberemepřesně2 2n−4 ,avrcholy,dokterých
vedou,označímejako V2.
Nynízvolímevrchol v2 ∈ V2libovolně.Podobnějakovýšeexistujebarva,žehranytéto
barvyspojují v2alespoňspolovinouostatníchvrcholůve V2.Zvrcholů,dokterýchtyto
hranyvedouvyberemepřesně2 2n−5 vrcholů,cožbudemnožina V3.
Taktopokračujemeažvytvoříme2n −2množin V1,V2,... ,V2n−2a2n −2vrcholů
v1,v2,... ,v2n−2takových,žeplatí
(i) vi ∈ Via |Vi|=2 2n−2−i , i=1,2,... ,2n −2;
(ii) Vi+1 ⊂ Vi \ {vi}, i=1,2,... ,2n −3;
(iii) vijespojenhranamistejnébarvysevšemivrcholyve Vi+1, i=1,2,... ,2n −3.
Meziprvními2n −3vrcholy v1,v2,...,v2n−3jealespoňpolovina(tj. n −1)takových,že
proněvbodě(iii)nastalatatážbarva,řekněme,žebílá.Tytovrcholyspolusposledním
v2n−2vytvoří Kn,majícítakvšechnyhranybílé.
Nejmenšíčíslo mveVětě11senazýváRamseyovočíslo R(n).Jehopřesnáhodnota
neníznámakroměněkolikajednoduchýchpřípadů: R(2)=2, R(3)=6aR(4)=18.Pro
R(5)jenapř.známodhad41 ≤ R(5) ≤49,apod.
Cvičení.
(1) Uvažujmejednoduchýgraf Gsešestivrcholy.
(a) MůžebýtvGsoučasněvrcholstupně0avrcholstupně5?
(b)Obsahuje-li Gprávědvavrcholytéhožstupně,mohoutobýtstupně0nebo5?
(c) Jemožné,abykaždývrcholvGbyljinéhostupně?
(2) Komplement G c grafu Gjegrafsestejnýmivrcholy,kdedvavrcholyjsouspojeny
hranouvG c právě,kdyžnejsouspojenyvpůvodnímgrafu G.Ukažte,žealespoň
jedenzdvojice GaG c jevždysouvislýgraf.