Grafy
Grafy
Grafy
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
(b)Existujepodmnožina S ⊂ Ataková,že<br />
|S|=|N(S)|.<br />
Uvažujeme-libipartitnípodgrafsvrcholy S a N(S),paksplňujepodmínku<br />
(*),neboťjisplňujecelýgraf.Podleindukčníhopředpokladumátentopodgraf<br />
úplnépárování F1z Sdo N(S).<br />
Jaktovypadásezbytkemgrafu?Ověříme,žeionsplňujepodmínku(*).Zvolme<br />
si mvrcholůvA \ S.Kdybybylyspojenysnejvýše m −1vrcholyvmnožině<br />
B \ N(S),pakpřidánímtěchto mvrcholůkmnožině Sbychomdostalisituaci,<br />
kdy m+|S|vrcholůjespojenosnejvýše m −1+|N(S)|=m −1+|S|vrcholy.<br />
Cožovšemodporujepodmínce(*).Zjistilijsme,žeizbytekgrafuvyhovuje(*)<br />
apodleindukčníhopředpokladuexistujeivtétočástigrafuúplnépárování F2.<br />
Hledanéúplnépárováníje F= F1 ∪ F2.<br />
<br />
ZVěty9vyplývákonečněpoznatek,kterýnámpomůžepřivyřešenísituacevpříkladu<br />
nazačátkutohooddílu.<br />
Věta10.Mějmebipartitnígraf G=(V,E),kde V = A ∪ B,takový,ževšechnyvrcholy<br />
majístejnýstupeň d ≥1.Pak |A|=|B|aexistujeúplnépárovánízAdo B.<br />
Důkaz. Ověříme,žegraf Gsplňujepodmínku(*)zVěty9.Mějme S ⊂ A.Ztétomnožiny<br />
vedecelkovýpočet d|S|hran.Kdybytytohranykončilyvméněnež |S|vrcholechmnožiny<br />
B,vedlobynutnědonějakéhovrcholumnožiny Bvícenež dhran,cožjesporsestupněm<br />
vrcholu.<br />
Podle Věty 9existuje úplnépárování z A do B.Tímale |A| ≤ |B|. Zesymetrie<br />
celésituaceexistujerovněžúplnépárovánízB do A,atedy |B| ≤ |A|.Dohromady,<br />
|A|=|B|. <br />
Řešenípříkladu:Situacejeznázorněnabipartitnímgrafem,kdemnožina Apředstavuje<br />
dívkyamnožina Bhochy.Hranyindikujívzájemnouznámost.StačínyníaplikovatVětu10<br />
s d=20.<br />
Ramseyovavěta<br />
Vtétočástisebudemezabývatotázkou,jaképravidelnostisenutněmusíobjevitvkaždém<br />
grafu,je-lidostatečněvelký.Specielněnásbudezajímat,zdasevtakovémgrafuobjeví<br />
jakopodgrafbuďtoúplnýgraf Knnebojehodoplněk Kc n.Obvyklýmotivačnípříkladje,že<br />
veskupiněšestilidísevždynajdoutři,kteřísemezisebounavzájemznajínebotři,kteří<br />
sevůbecneznají.Vřečigrafůtoznamená,ževkaždémgrafuošestivrcholechexistuje<br />
buďtrojúhelníknebotřivrcholy,mezinimižnevedežádnáhrana,vizcvičení(17).<br />
Ekvivalentnělzeotázkuoexistenci Knnebo K c n<br />
13<br />
vdanémgrafu Gformulovattak,že<br />
hranyvGobarvímejednoubarvouahrany,kterévGchybídoplníme,aleobarvímeje<br />
jinoubarvou.Vyniknetakúplnýgraf,jehožhranyjsouobarvenydvěmarůznýmibarvami.<br />
Problémnyníspočívávnalezeníúplnéhopodgrafu Knjehožvšechnyhranymajístejnou<br />
barvu.Následujícívětajeformulovánaprávěvjazykuobarveníhran.
Change language