Grafy

12
Definice.PárovánívG=(V,E)jetakovápodmnožinahran F ⊂ E,žežádnédvěhrany
z Fnemajíspolečnývrchol.
Je-ligraf G=(V,E)bipartirní, V = A ∪ B,pakúplnépárovánízAdo Bjetakové
párování F ⊂ E,žezkaždéhovrcholumnožiny Avedenějakéhranapárování F.
Grafynaobrázkupředdefinicímajípárování,avšakzatímcoprvníznichmáúplné
párovánízAdo B,udruhéhotakovéúplnépárováníneexistuje.Projednoduššíformulacivětyoexistenciúplnéhopárováníbudehodnésizavéstnásledujícíoznačení.Mějme
podmnožinu S ⊂ V množinyvrcholů.Symbol N(S)označujevšechnyvrcholy,kteréjsou
hranouspojenysnějakýmvrcholemvmnožině S.Volněřečeno,do N(S)dámevšechny
vrcholy,kteréjsousousedynějakéhovrcholuzS.
Věta9.Mějmebipartitnígraf G=(V,E),kde V = A ∪ B.Pakexistujeúplnépárování
z Ado Bprávě,kdyžprokaždoupodmnožinu S ⊂ Aplatí
(*) |S| ≤ |N(S)|.
Důkaz. Předpokládejmenejprve,že F ⊂ EjeúplnépárovánízAdo Bamějme S ⊂ A
libovolnou.Každáhranapárování Fspojujevrcholzmnožiny SsvrcholemvN(S),proto
jevN(S)alespoňtolikprvkůjakovS.
Obrácenouimplikacibudemedokazovatindukcípodlevelikostimnožiny A.Předpokládejme,ževbipartitnímgrafuplatípodmínka(*).
(1) |A|=1,tj. A={a}.Protože |N(A)| ≥1,spojímevrchol aslibovolýmvrcholem
b ∈ N(A)ahledanépárováníseskládáztétojedinéhrany ab.
(2) Předpokládámenyní,žetvrzeníplatíkdykoli |A| ≤ nauvažujemebipartitnígrafs
|A|=n+1.Mohounastatdvapřípady:
(a) Prokaždouneprázdnoumnožinu S ⊂ Aplatívpodmínce(*)ostránerovnost,
|S| < |N(S)|.Vtompřípaděspojímelibovolnývrchol a ∈ Asnějakýmvrcholem
b ∈ N(a)apakobavrcholyspolusevšemihranami,kterédonichvedouzgrafu
vypustíme.Vzniknegraf,kde |A| = n,stálesplňujícípodmínku(*).Podle
indukčníhopředpokladuvněmexistujeúplnépárování,kterédodánímhrany
abvytvoříúplnépárovánívpůvodnímgrafu.